1 координатный угол

Урок математики в 4 классе. Координатный угол

1 координатный угол

Тема: Координатный угол

Цель урока: формировать представление о координатной плоскости, координатах точки.

Задачи:

– образовательные (формирование познавательных УУД):

формирование у учащихся умений и навыков построения точек в координатной плоскости, определения координат точки, расположенной в координатной плоскости, правильно использовать понятия абсцисса, ордината.

– развивающие (формирование регулятивных УУД)

совершенствование уровня развития речи учащихся с помощью использования математической терминологии и математического языка, умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям; планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; контроль и оценка процесса и результатов деятельности, развитие навыков самостоятельной работы и работы в парах, самоконтроля и взаимоконтроля, развитие интереса к предмету через занимательные и творческие задания .

– воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

  • умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность, умение преодолевать трудности с помощью решения трудных, но интересных задач, воспитывать примерное отношение к учебе, интерес к предмету.

Долгожданный дан звонок,

Начинается урок!

– Поделитесь, что вы ждете от урока?  Что вы пожелаете друг другу?

Вы еще учитесь, но вас уже можно назвать знатоками, потому что вы уже много знаете и умеете. И сегодня вам предстоит ответить на многие вопросы, как подобает знатокам, а также узнать что-то новое, ведь человек живет пока учиться и познает что-то новое.

Используя цифры записи даты составьте наибольшее четырехзначное число.

4210

увеличьте это число на 1 тысячу;

– уменьшите число в 2 раза;

– увеличьте в 2 раза;

-увеличьте на 2 десятка 1 единицу;

-уменьшите на 3тысячи;

-найдите сумму всех цифр;

-найдите разность всех цифр;

-увеличьте число на 3 сотни 3 десятка;

-уменьшите на 9 единиц

Запишите числа в порядке возрастания. И прочитайте вид следующего задания.

Кроссворд

1) Часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. (Луч).

2) Геометрическая фигура, не имеющая углов. (Круг).

3) Самая маленькая геометрическая фигура. (Точка).

4) Геометрическая фигура, имеющая форму вытянутого круга. (Овал).

 Тема нашего урока спряталась по вертикали. Найдите её. (Угол).

-что такое угол?

– из каких геометрических фигур состоит угол?

– что такое луч?

-Являются ли данные геометрические фигуры лучами? Докажите.

– Какой луч отличается от других?

– Как он называется?

Прочитай название луча?

Д. Ох

У. Какой буквой обозначено начало луча?

Д. 0

Чем отличаются числовые лучи (1,2) друг от друга?

Д. Единичными отрезками. У луча 1 единичный отрезок равен одной клетке, у луча 2 единичный отрезок равен двум клеткам.

У. Найдите на луче 1 точку А с координатой 5, на луче 2 точку В с координатой 3 и обозначьте их. (Ученики выходят к доске и выполняют задания).

В результате данные лучи выглядят следующим образом:

У. Мы с вами вспомнили, как «выглядит» координатный луч. Подумайте, как может на чертеже «выглядеть» координатный угол?

Д. Это два числовых луча, исходящих из одной точки в виде угла.

У. Правильно.

  1. Сообщение темы и целей урока:

Сформулируйте тему и задачи, которые нужно решить на уроке.

– Узнать как строить координатный угол;

– Узнать как называются лучи, точки координатного луча;

– Где может пригодиться координатный угол;

  1. Работа над новым материалом.

Откройте учебник на с.69.

Волк и Заяц купили билеты на футбольный матч. В каком ряду и на каком месте будет сидеть каждый?

На одном луче будем отмечать место, на другом-ряд.

Назовите, в каком ряду и на каком месте сидят Удав, Жираф,Ёжик?

Давайте договоримся, ребята, что при ответе на эти вопросы, вы сначала будете называть место зрителя, а затем ряд, в котором он сидит.

Отмечаются точки на координатном угле.

– Что мы делали?

– Называли место животных или их КООРДИНАТЫ.

Сколько значений имеет координата?

-Как построить координатный угол?

ВЫВОД:

  1. Выбираем точку –начало координат.

  2. Из неё проводим под прямым углом 2 луча.

Найдите в учебнике название этих лучей

  1. Откладываем на лучах единичный отрезок

  2. По заданным координатам отмечаем точку.(Сколько значений имеет координата?)

-Где в жизни можно использовать координатный угол?

  1. Закрепление первичных знаний. №2, стр.71

Назовите пары чисел, соответствующих вершинам каждой фигуры.

Работа в парах

Какое слово зашифровано на рисунке, если буквы читать в том порядке, в котором следуют пары чисел?

(3,6); (5,0);(1,4); (6,5);(0,2); (4,3)

Самостоятельная работа

На координатном луче. Отметьте координаты:  

А1 (3,2); А2 (2,3); А3 (4,3); А4 (4,7); А5 (6,4); А6 (7,3); А7 (6,2).

Соедините точки в следующем порядке А1, А2, А3, А4, А5, А3, А6, А7, А1.

Какой рисунок у вас получился? 

  1. Итог урока. Рефлексия. «Сегодня я узнал».

В начале урока мы ставили задачи. Мы их выполнили? Давайте проверим

На координатном луче. Отметьте координаты:  А1 (3,2); А2 (2,3); А3 (4,3); А4 (4,7); А5 (6,4); А6 (7,3); А7 (6,2).Соедините точки в следующем порядке А1, А2, А3, А4, А5, А3, А6, А7, А1.Какой рисунок у вас получился?
На координатном луче. Отметьте координаты:  А1 (3,2); А2 (2,3); А3 (4,3); А4 (4,7); А5 (6,4); А6 (7,3); А7 (6,2).Соедините точки в следующем порядке А1, А2, А3, А4, А5, А3, А6, А7, А1.Какой рисунок у вас получился?
На координатном луче. Отметьте координаты:  А1 (3,2); А2 (2,3); А3 (4,3); А4 (4,7); А5 (6,4); А6 (7,3); А7 (6,2).Соедините точки в следующем порядке А1, А2, А3, А4, А5, А3, А6, А7, А1.Какой рисунок у вас получился?

Источник: https://multiurok.ru/files/urok-matiematiki-v-4-klassie-koordinatnyi-ughol.html

Векторы. Метод координат. Угол между прямыми, плоскостями. Расстояние от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми

1 координатный угол

\({\color{red}{\textbf{Факт 1. Про векторы}}}\)
\(\bullet\) Если в пространстве заданы две точки \(A(x_1;y_1;z_1)\) и \(B(x_2;y_2;z_2)\), то вектор \(\overrightarrow{AB}\) имеет координаты \[\overrightarrow{AB} = \{x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\}\]\(\bullet\) Если в пространстве заданы два вектора \(\vec{a}=\{x_1;y_1;z_1\}\) и \(\vec{b}=\{x_2;y_2;z_2\}\), то:

\(\qquad \blacktriangleright\) сумма этих векторов \(\vec{a}+\vec{b}=\{x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2\}\)

\(\qquad \blacktriangleright\) разность этих векторов \(\vec{a}-\vec{b}=\{x_1-x_2;y_1-y_2;z_1-z_2\}\)

\(\qquad \blacktriangleright\) произведение вектора на число \(\lambda\vec{a}=\{\lambda x_1;\lambday_1;\lambda z_1\}\)  \(\bullet\) Если в пространстве заданы две точки \(A(x_1;y_1;z_1)\) и \(B(x_2;y_2;z_2)\), а точка \(O\) — середина отрезка \(AB\), то \(O\) имеет координаты \[O\left(\dfrac{x_1+x_2}2;\dfrac{y_1+y_2}2;\dfrac{z_1+z_2}2\right)\]\(\bullet\) Длина вектора \(\vec{a}=\{x;y;z\}\) обозначается \(|\vec{a}|\) и вычисляется по формуле \[|\vec{a}|=\sqrt{x2+y2+z2}\]\(\bullet\) Заметим, что расстояние между двумя точками есть не что иное, как длина вектора с началом и концом в этих точках. 

\({\color{red}{\textbf{Факт 2. Про скалярное произведение}}}\)
\(\bullet\) Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними: \[{\large{(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos \angle (\vec{a},\vec{b})}}\] На рисунке показано, что такое угол между векторами:

\(\bullet\) Справедливы следующие утверждения:

I. Скалярное произведение ненулевых векторов (их длины не равны нулю) равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны: \[(\vec{a}, \vec{b})=0 \quad\Leftrightarrow\quad\vec{a}\perp \vec{b}\]

II. Длина вектора равна квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя: \[|\vec{a}|=\sqrt{(\vec{a},\vec{a})}\]

III. Переместительный закон: \[(\vec{a}, \vec{b})=(\vec{b},\vec{a})\]

IV. Распределительный закон: \[(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}, \vec{c})+(\vec{b}, \vec{c})\]

V.

Сочетательный закон (\(\lambda\) – число): \[\lambda(\vec{a}, \vec{b})=(\lambda\vec{a}, \vec{b})\]\(\bullet\) Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}=\{x_1;y_1;z_1\}\) и \(\vec{b}= \{x_2;y_2;z_2\}\) можно вычислить с помощью координат этих векторов: \[{\large{(\vec{a},\vec{b})=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}}\]\(\bullet\) Косинус угла между векторами \(\vec{a} =\{x_1;y_1;z_1\}\) и \(\vec{b}= \{x_2;y_2;z_2\}\) вычисляется по формуле: \[{\large{\cos\angle(\vec{a}, \vec{b})=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x2_1+y2_1+z2_1}\cdot\sqrt{x2_2+y2_2+z2_2}}}}\] 

\({\color{red}{\textbf{Факт 3. Про уравнение плоскости}}}\)
\(\bullet\) Если \(\vec{n}=\{a;b;c\}\) – нормаль к плоскости, то уравнение плоскости имеет вид \[ax+by+cz+d=0\] Для того, чтобы найти \(d\), нужно подставить в уравнение плоскости вместо \(x, y, z\) координаты любой точки, лежащей в этой плоскости.

  Пример: если \(\vec{n}=\{1;2;3\}\) – нормаль к плоскости, \(O(4;5;6)\) – точка из плоскости, то справедливо: \(1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot6+d=0\), откуда \(d=-32\), следовательно, уравнение плоскости имеет вид \(x+2y+3z-32=0\).

  \(\bullet\) Уравнение плоскости можно составить, используя три точки из плоскости, не лежащие на одной прямой.
Пусть \(A(1;0;0), \B(0;3;4), \ C(2;0;5)\) – точки из плоскости.

Тогда уравнение плоскости можно найти, решив систему: \[\begin{cases}1\cdot a+0\cdot b+0\cdot c+d=0\\0\cdot a+3\cdot b+4\cdot c+d=0\\2\cdot a+0\cdot b+5\cdot c+d=0\end{cases} \quad\Rightarrow\quad\begin{cases}d=-a\\3b+4c-a=0\\a+5c=0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} d=-a\\a=-5c\\b=-3c\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}a=-5c\\b=-3c\\d=5c\end{cases}\] Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: \[-5c\cdot x-3c\cdot y+c\cdot z+5c=0\] Можно разделить обе части на \(c\), так как \(ce 0\) (иначе \(a=b=c=d=0\)), следовательно, уравнение плоскости имеет вид \[-5x-3y+z+5=0\] 

\({\color{red}{\textbf{Факт 4.

Про углы между прямыми, плоскостями}}}\)
\(\bullet\) Если векторы \(\vec{a} =\{x_1;y_1;z_1\}\) и \(\vec{b}=\{x_2;y_2;z_2\}\) являются направляющими прямых \(p\) и \(q\), то косинус угла между этими прямыми равен: \[\cos \phi=\dfrac{|x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2|}{\sqrt{x2_1+y2_1+z2_1}\cdot \sqrt{x2_2+y2_2+z2_2}}\]\(\bullet\) Если \(\vec{a}\) — направляющий вектор прямой \(p\), а \(\vec{n}\) — нормаль к плоскости \(\phi\) (перпендикуляр к плоскости), то синус угла между прямой \(p\) и плоскостью \(\phi\) равен модулю косинуса угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{n}\): \[\sin\angle(p, \phi)=|\cos \angle(\vec{a}, \vec{n})|\]  \(\bullet\) Если две плоскости заданы уравнениями \(a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\) и \(a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\), то косинус угла между плоскостями ищется по формуле: \[{\large{\cos \phi=\left| \dfrac{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}{\sqrt{a2_1+b2_1+c2_1}\cdot\sqrt{a2_2+b2_2+c2_2}}\right|}}\] 

\({\color{red}{\textbf{Факт 5.

Про расстояния от точки до плоскости,между скрещивающимися прямыми}}}\)
\(\bullet\) Если \(M(x_0;y_0;z_0)\) — некоторая точка вне плоскости \(\phi\), \(ax+by+cz+d=0\) — уравнение плоскости \(\phi\), то расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\phi\) ищется по формуле: \[\rho(M, \phi)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a2+b2+c2}}\]\(\bullet\) Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно— построить плоскость, проходящую через одну из них и параллельную другой;— найти уравнение этой плоскости;

— найти расстояние от любой точки первой прямой до этой плоскости.

{\textbf{Факт 1. Про векторы}}}\) \(\bullet\) Если в пространстве заданы две точки \(A(x_1;y_1;z_1)\) и \(B(x_2;y_2;z_2)\), то вектор \(\overrightarrow{AB}\) имеет координаты…”,”word_count”:564,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://shkolkovo.net/theory/162

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.