Как найти полярные координаты

Полярная система координат: основные понятия и примеры

Как найти полярные координаты

Если уж речь зашла о полярной системе координат, то вообразите себя полярниками, стоящими на Северном полюсе. Или на Южном (это не так важно). Пусть в точке полюса находится начало линейки. В точку полюса также положим начало карандаша, а весь карандаш полностью прилегает к линейке.

Теперь повернём карандаш так, чтобы его начало оставалось там же, на полюсе, а между ним и линейкой образовался некоторый угол поворота. Конец карандаша оказался в некоторой точке, назовём её M. Вот мы и получили полярные координаты точки M: длина карандаша и угол, на который был повёрнут карандаш.

А теперь об этом же в более строгих и точных определениях.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки O, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA (обозначается также и как Ox), называемого полярной осью, и масштаба для изменения длин. Кроме того, при задании полярной системы координат должно быть определено, какие повороты вокруг точки O считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Итак, выберем на плоскости (рисунок выше) некоторую точку O (полюс) и некоторый выходящий из неё луч Ox. Кроме того, укажем единицу масштаба.

Полярными координатами точки M называются два числа ρ и φ, первое из которых (полярный радиус ρ) равно расстоянию точки M от полюса O, а второе (полярный угол φ, который называют также амплитудой) – угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM.

Точку M с полярными координатами ρ и φ обозначают символом M(ρ, φ).

Установим связь между полярными координатами точки и её декартовыми координатами. Будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка M имеет декартовы координаты x и y и полярные координаты ρ и φ.Тогда

x = ρ cos φ)

и

y = ρ sin φ).

Полярные координаты ρ и φ точки M определяются по её декартовым координатам следующим образом:

.

Для того, чтобы найти величину угла φ, нужно, используя знаки x и y, определить квадрант, в котором находится точка M, и, кроме того, воспользоваться тем, что тангенс угла φ равен .

Приведённые выше формулы называются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Пример 1. В полярной системе координат на плоскости даны точки

A(3; π/4);

B(2; -π/2);

C(3; -π/3).

Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полярной оси.

Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата – длина луча – у симметричной относительно полярной оси точки будет как и у данной точки. Как видно из рисунка в начале урока, при построении симметричной относительно полярной оси точки данную точку нужно повернуть вокруг полярной оси на тот же угол φ.

Следовательно, в полярной системе координат второй координатой симметричной точки будет угол для исходной точки, взятый с противоположным знаком, то есть -φ. Итак, полярные координаты точки, симметричной данной относительно полярной оси будут отличаться лишь второй координатой, и эта координата будет с противоположным знаком.

Полярные координаты искомых симметричных точек будут следующими:

A'(3; -π/4);

B'(2; π/2);

C'(3; π/3).

Пример 2. В полярной системе координат на плоскости даны точки

A(1; π/4);

B(5; π/2);

C(2; -π/3).

Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полюса.

Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата – длина луча – у симметричной относительно полюса точки будет как и у данной точки. Симметричная относительно полюса точка получается вращением исходной точки на 180 градусов против часовой стрелки, то есть на угол π.

Следовательно, вторая координата точки, симметричной данной относительно полюса рассчитывается как φ + π (если в результате получится числитель больше знаменателя, то вычтем из полученного числа один полный оборот, то есть 2π).

Получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно полюса:

A'(1; 3π/4);

B'(5; -π/2);

C'(2; 2π/3).

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 3. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки

A(6; π/2);

B(5; 0);

C(2; π/4).

Найти декартовы координаты этих точек.

Решение. Используем формулы перехода от полярных координат к декартовым:

x = ρ cos φ)

и

y = ρ sin φ).

Получаем следующие декартовы координаты данных точек:

A(0; 6);

B(5; 0);

C'(√2; √2).

Пример 4. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки

A(0; 5);

B(-3; 0);

C(√3; 1).

Найти полярные координаты этих точек.

Решение. Определяем первую из полярных координат по формуле , а тангенс угла φ – второй из полярных координат как . Получаем следующие полярные координаты данных точек:

A(5; π/2);

B(3; π);

C(2; π/6).

Пройти тест по теме Векторы

с друзьями

Весь блок “Аналитическая геометрия”

Источник: https://function-x.ru/geometry_coordinates_polar.html

Полярные координаты с примерами решения

Как найти полярные координаты

До сих пор для определения положения точки на плоскости мы пользовались ее прямоугольными координатами. Теперь мы рассмотрим другую важную систему координат — полярную.

Эта система состоит из некоторой точки О (полюса) и проходящей через нее оси Ох (полярной оси). С помощью указанных Объектов можно определить положение любой точки М. Для этого соединим точку М с полюсом О и найдем угол 0, который луч ОМ образует с положительным направлением полярной оси Ох, и длину г этого луча **) ОМ (рис. 80).

Числа называются соответственно аргументом и радиусом-вектором точки М. Общее их название — полярные координаты этой точки.

Тот факт, что точка М имеет полярные координаты , обычно записывают в виде Эта запись мало удачна, так как неясно, что означает символ М (3, 2): точку, у которой абсцисса и ордината равны соответственно 3 и 2, или же точку, у которой эти числа являются радиусом-вектором и аргументом.

В дальнейших частях книги эта неясность будет устраняться сопровождающими пояснениями, а в данном параграфе мы введем обозначение М, хотя оно и не является общепринятым.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Полярная система координат имеет некоторые недостатки по сравнению с прямоугольной.

Прежде всего, аргументом полюса может считаться любое число. Так*), суть различные обозначения одной и той же точки — полюса. Далее, и у любой другой точки плоскости имеется бесконечное множество аргументов, потому что прибавление, к аргументу точки угла **) не меняет этой точки. Поэтому, представляют собой одну и ту же точку. Иногда рассматривают и отрицательные значения радиуса-вектора.

Например, под понимают точку (рис. 81),

которая получается в результате следующих построений: сначала поворачивают полярную ось на 60° (как всегда против часовой стрелки). После этого на оси (в ее новом положении!) откладывают в отрицательном направлении отрезок 2. Полученная точка и будет точкой . Нетрудно, однако, понять, что ту же точку М можно записать и так:

Иными словами, ту же точку можно задать, пользуясь положительным значением радиуса-вектора. Аналогичным образом, прибавив к аргументу 180°, мы всегда можем превратить отрицательный радиус-вектор в положительный. Имея это в виду, мы раз навсегда условимся считать радиус-вектор любой точки неотрицательным, п°2. Расстояние между двумя точками.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример с решением

Найти расстояние между точками и Решение:

По теореме косинусов из треугольника (рис. 82) находим (1)

Связь между полярными и прямоугольными координатами. Пусть на плоскости построены две системы координат: полярная и прямоугольная, причем полюс и полярная ось первой совпа-абсцисс второй. Возьмем на

плоскости любую точку М (рис. 83), и пусть ее полярные и прямоугольные координаты соответственно будут .

Как видно из треугольника ОМА, справедливы формулы (2) выражающие прямоугольные координаты через полярные.

Можно доказать, что формулы (2) верны не только для простейшего положения точки М, изображенного на рис. 83, но и при любом ее положении. Мы, однако, на этом не будем останавливаться.

Из формул (2) (или непосредственно из треугольника ОМА) следует, что (3) причем согласно сделанному выше замечанию перед радикалом мы всегда будем брать знак

Наконец, из (2) следует, что (4) Формула (4) не позволяет находить угол ибо по тангенсу угла нельзя однозначно определить угол. Но, зная мы знаем и четверть, в которой лежит угол что в соединении с формулой (4) уже позволяет найти в с точностью до 360°.

Спираль Архимеда

Мы знаем, что различные линии на плоскости определяются с помощью уравнений, которым должны удовлетворять прямоугольные координаты точек линии. Но совершенно то же будет справедливо, если говорить не о прямоугольных, а о полярных координатах точек.

Прямую, эллипс, параболу, гиперболу удобнее изучать по их уравнениям в прямоугольных координатах. Однако для некоторых линий более удобным средством изучения служат их уравнения именно в полярных координатах. Такой линией является, например, спираль Архимеда.

Определение. Спиралью Архимеда называется линия, описываемая точкой, равномерно двигающейся по лучу, который сам равномерно вращается вокруг своего начала.

Мы будем предполагать, что в начальный момент точка М, описывающая спираль, находится в начале луча, упомянутого в определении.

Выведем уравнение спирали Архимеда. Для этого надо прежде всего выбрать определенную систему координат. Мы возьмем за полюс начало луча, по которому движется точка М, а за положительное направление полярной оси — начальное положение этого луча.

Обозначим соответственно через шит» скорость вращения луча и скорость 'Движения точки М вдоль по лучу. Поскольку оба движения равномерны, [то есть угол, на который поворачивается луч за единицу времени, a — расстояние, которое за единицу времени точка М, описывающая спираль, проходит вдоль по лучу.

Положение точки М мы будем определять ее полярными координатами В начальный момент . В момент же (т. е. в момент, отделенный от начального промежутком времени*) в t единиц) Стало быть, для любого момента t

Обозначая (постоянное!) число через находим, что уравнение спирали Архимеда имеет вид Таким образом, при движении точки по спирали Архимеда ее радиус-вектор изменяется прямо пропорционально аргументу. Это позволяет построить спираль Архимеда. На рис. 84 отмечены точки А, В, С, D, Е, F, О, Н, I, К, L спирали, аргументы которых равны соответственно 45°, 90°, 135°, 495°. Ясно, что

Гиперболическая спираль

Определение. Гиперболическая спираль есть такая линия, что полярные координаты точки, движущейся по ней, изменяются обратно пропорционально друг другу.

Иными словами, гиперболическая спираль есть линия, соответствующая уравнению Применяя построения, сходные с теми, какие мы употребляли для спирали Архимеда, нетрудно построить ряд точек гиперболической спирали.

Она имеет вид, изображенный на рис. 85. Легко понять,

что с безграничным увеличением аргумента точки М радиус-вектор этой точки будет приближаться неограниченно к нулю. Это показывает, что гиперболическая спираль, совершая бесконечное множество оборотов вокруг полюса, неограниченно приближается к нему, хотя никогда его и не достигает. Указанное обстоятельство выражают, говоря, что полюс служит асимптотической точкой гиперболической спирали.

Чтобы установить еще одно свойство гиперболической спирали, введем также прямоугольную систему координат, начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс с полярной осью. Как мы знаем, для любой точки будет

Значит, для точек, лежащих на спирали (5), окажется

В следующей главе будет доказано, что по мере приближения 0 к нулю отношение стремится к 1. Но если приближается

к нулю, то согласно (5) точка будет уходить по спирали в бесконечность (так как будет безгранично возрастать). Таким образом, из (6) следует, что ордината у точки М, уходящей в бесконечность по гиперболической спирали, стремится к числу . Стало быть, прямая служит асимптотой спирали (5).

Вычисление площадей. Полярные координаты

Пусть из центра круга радиуса под углом (радианов!) проведены два радиуса. Площадь полученного таким образом сектора (рис. 223), как известно *), равна Этот результат позволяет решить следующую задачу: найти площадь сектора (уже не кругового!), ограниченного лучами и кривой (рис. 224). Именно, вырежем из нашего

сектора элементарный сектор, образованный лучами, наклоненными к полярной оси под углами (рис. 224). Если этот элементарный сектор принять за круговой**) [вырезанный из круга радиуса то его площадь согласно (5) будет Отсюда При использовании формулы надо заменять функцией входящей в уравнение .

Пример 1:

Найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда (рис. 225). Решение:

Здесь Значит, Этому результату можно дать наглядную формулировку.

Именно, точка А пересечения спирали с полярной осью имеет радиус-вектор Стало быть, круг радиуса ОА имеет площадь Из сопоставления этого равенства с (7) получается открытое еще Архимедом предложение: площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна у площади круга с радиусом, равным наибольшему из радиусов-векторов точек витка.

Пример 2:

Найти площадь F фигуры, ограниченной лемнискатой Решение:

Еще в первой главе было показано, что в полярных координатах наша лемниската имеет уравнение Лемниската симметрична относительно обеих осей, и та часть ее, которая расположена в первом координатном угле, лежит между лучами и Значит, площадь фигуры, ограниченной этой частью лемнискаты и осью (она заштрихована на рис. 226), равна

Отсюда

Источник: https://natalibrilenova.ru/polyarnyie-koordinatyi/

Полярная система координат (полярные координаты)

Как найти полярные координаты

Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом, и полупрямой , называемой полярной осью.

Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса.

Как правило, на полярной оси выбирается вектор , приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).

Положение точки в полярной системе координат определяется расстоянием (полярным радиусом) от точки до полюса (т.е. ) и углом (полярным углом) между полярной осью и вектором . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки , что записывается в виде . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

– в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

– в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения .

Полярный угол определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения , называемыми главными значениями полярного угла.

В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых , где . В этом случае значениям полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

С полярной системой координат можно связать прямоугольную систему координат , начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат {связанную с данной прямоугольной).

Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки , отличной от точки , и ее полярные координаты . По рис.2.28,б получаем

(2.17)

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:

(2.18)

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение полярного угла находится по формулам (рис.2.29):

Пример 2.9. В полярной системе координат :

а) изобразить координатные линии ;

б) изобразить точки с полярными координатами . Найти главные значения полярных углов этих точек;

в) найти прямоугольные координаты точек .

Решение. а) Координатные линии представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии и — полупрямые (рис.2.30,а).

б) Построим точки и (рис.2.30,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение . Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой , изображенной на рис.2.30,а.

в) Учитывая пункт “б”, найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.17) получаем:

то есть

Замечания 2.8

1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например, .

2. Расстояние между двумя точками и (длина отрезка ) вычисляется по формуле

что следует из теоремы косинусов (рис.2.31).

3. Ориентированная площадь параллелограмма (рис.2.31), построенного на радиус-векторах и , находится по формуле

Она положительна, если (при этом ориентация пары радиус- векторов и правая), и отрицательна, если (ориентация пары радиус-векторов и левая).

Пример 2.10. Даны полярные координаты и точек и (рис.2.32). Требуется найти:

а) скалярное произведение ;

б) длину отрезка ;

в) внешнее произведение ;

г) площадь треугольника ;

д) координаты середины отрезка в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной.

Решение. а) По определению скалярного произведения находим

б) Находим длину отрезка (см. пункт 2 замечаний 2.8):

в) Внешнее произведение находим как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

Площадь положительная, так как векторы и образуют правую пару .

г) Площадь треугольника находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах и .

Так как (см. пункт “в”), то .

д) По формулам (2.17) находим прямоугольные координаты точек и :

а затем координаты середины отрезка (см. пункт 3 замечаний 2.1):

Пример 2.11. На координатной плоскости отмечена точка . Найти:

а) полярные координаты точки , образа точки при повороте радиус-вектора на угол вокруг начала координат (рис.2.33);

б) полярные координаты точки , образа точки при инверсии плоскости относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат (см. пример б преобразований плоскости в разд. 2.2.4).

Решение. а) Найдем полярные координаты точки . По формулам (2.17), учитывая рис.2.29, получаем:

так как точка лежит в четверти.

При повороте радиус-вектора вокруг полюса на угол полярный радиус не изменяется, а полярный угол увеличивается. Следовательно, полярные координаты точки : , , причем — главное значение полярного угла .

б) При инверсии относительно окружности радиуса полярные координаты образа выражаются через полярные координаты прообраза следующими формулами:

Поэтому, учитывая пункт “а”, находим (для ):

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=polyarnye-koordinaty

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.