Координата x y

Ось абсцисс и ординат. Прямоугольная система координат

Координата x y

Французский математик Рене Декарт преддложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

А вот и координаты увлекательных уроков математики: на интерактивной платформе и в комфортном темпе! Запишите ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школу Skysmart, чтобы закрыть пробелы по школьной программе и не бояться контрольных.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

  • Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Правила координат:

  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидово пространство состоит из трех взаимно перпендикулярных прямых: Ох, Оу, Оz, где Оz — ось аппликат. По направлению координатных осей есть разделение на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке О, которую называют началом. У каждой оси есть положительное направление, которое отмечается стрелкой.

Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой.

Объясняем на пальцах! Если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.

Также образуется левая система координат. Совмещать обе системы нет смысла, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу.

Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.

Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на ОуyM. Как это выглядит на координатных осях:

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.

Координаты точки в трехмерном пространстве

Сформулируем определение точки М в трехмерном пространстве.

Пусть Mx, My, Mz — это проекции точки М на соответствующие оси Оx, Оy, Оz. Тогда значения этих точек на осях примут значения xM, yM, zM. Как это выглядит на координатных прямых:

Чтобы получить проекции точки М, нужно добавить перпендикулярные прямые Оx, Оy, Оz, продолжить их и изобразить в виде плоскостей, которые проходят через М. Так плоскости пересекутся в Mx, My, Mz.

У каждой точки трехмерного пространства есть свои данные (xM, yM, zM), которые являются координатами точки М.

xM, yM, zM — это числа, которые являются абсциссой, ординатой и аппликатой данной точки М.

Верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку М трехмерного пространства.

Ну все, вроде бы справились. А если не совсем — приходите разбираться с системой координат на веселых задачках в Skysmart. Будет увлекательно и интерактивно!

Источник: https://skysmart.ru/articles/mathematic/Os-abstsiss-i-ordinat

Прямоугольная система координат. Описание положения точки на плоскости

Координата x y

Прямоугольная система координат. Описание положения точки на плоскости.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Связанные термины: Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям, а общей Декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не прямоугольную)[1].

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка —началом координат. Она обозначается обычно буквой О.
Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz.


Плоскости, проходящие соответственно через оси координат ОхиОу, ОуиОz, ОzиОх, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча.

Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами (x, y, z), показывающими величины расстояний, на которые она удалена от плоскостей проекций.

Чтобы определить эти расстояния, достаточно через точку A провести прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций, определить точки A`, A”, A”` встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить величины отрезков [AA`], [AA”], [AA”`], которые укажут соответственно значение аппликаты z, ординаты y, абсциссы x точки A.

Точки A`, A”, A”` называют ортогональными проекциями точки A, при этом согласно принятым обозначениям:

Она определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами ρ и j точки M называются расстояние ρ от полюса до точки M ( ρ = |OM|) и угол j между полярной осью и вектором OM (рис. 2).

Угол j называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: ρ = 0, угол j не определен. У остальных точек ρ > 0 и угол j определен с точностью до 2π.

Обычно полагают 0 ≤ j < 2 π или − π< j ≤ π.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты ρ и j формулами

x = ρcosj y = ρsinj .

Виды и методы программирования. Способы проверки УП. Передача УП на станок

Тестовые режимы станка с ЧПУ

Таблица 5.1. Базовые коды программирования обработки

Код (функция) Назначение и пример кадра с кодом
Осевое перемещение
G00 Ускоренный ход – перемещение на очень высокой скорости в указанную точку G00 X10. Y20. Z25.
G01 Линейная интерполяция – перемещение по прямой линии на указанной скорости подачи G01 X10. Y20. F100
G02 Круговая интерполяция – перемещение по дуге по часовой стрелке на указанной скорости подачи G02 X10. Y20. R10. F100
G03 Круговая интерполяция – перемещение по дуге против часовой стрелки на указанной скорости подачи G03 X10. Y20. R10. F100
Настройка
G20 Ввод дюймовых данных G20 G00 X10. Y20
G21 Ввод метрических данных G21 G00 X10. Y20
G90 Абсолютное позиционирование – все координаты отсчитываются от постоянной нулевой точки G90 G00 X10. Y20
G91 Относительное позиционирование – все координаты отсчитываются от предыдущей позиции G91 G00 X10. Y20
Обработка отверстий
G81 Цикл сверления G81 X10. Y20. Z-5. F30
G82 Цикл сверления с задержкой на дне отверстия G82 X10. Y20. Z-5. R1. P2. F30
G83 Прерывистый цикл сверления G83 X10. Y20. Z-5. Q0.25 R1. F30
G85 Цикл растачивания отверстия G85 X10. Y20. Z-5. F30
Вспомогательные коды (функции)
M00 Запрограммированный останов – выполнение программы временно прекращается
M01 Запрограммированный останов по выбору – выполнение программы временно прекращается, если активирован режим останова по выбору
М03 Прямое вращение шпинделя – шпиндель вращается по часовой стрелке
М04 Обратное вращение шпинделя – шпиндель вращается против часовой стрелки
М05 Останов шпинделя
М06 Автоматическая смена инструмента М06 Т02
M08 Включение подачи охлаждающей жидкости
M09 Выключение подачи охлаждающей жидкости
M30 Конец программы, перевод курсора к началу программы

Таблица 5.2. Коды по группам

Функциональная группа Коды
Перемещения G00, G01, G02, G03
Тип координатной системы G90, G91
Единицы ввода данных G20, G21
Постоянные циклы G80, G81, G82, G83, G84, G85…
Рабочая система координат G54, G55, G56, G57, G58…
Компенсация длины инструмента G43, G44, G49
Коррекция на радиус инструмента G40, G41, G42
Возврат в постоянных циклах G98, G99
Активная плоскость обработки G17, G18, G19

Особенностью модальных кодов является то, что не нужно вводить активный код в последующие кадры. Например, код G01 используется для перемещения инструмента по прямой линии.

Если нам необходимо совершить множество прямых перемещений, то не обязательно в каждом последующем кадре писать G01. Для отмены кода G01 следует применить один из кодов той же самой функциональной группы (G00, G02 или G03). Большинство из G-кодов являются модальными.

Программист должен знать, к какой группе и к какому классу принадлежит тот или иной код.

Хотя М-коды обычно не делят на модальные и немодальные, однако этот термин все же можно применить и к ним.

Например, можно выделить группу М-кодов, отвечающих за подачу охлаждающей жидкости (М07, М08, М09) или за вращение шпинделя (М03, М04, М05).

Тем не менее большинство М-кодов нужно рассматривать как немодальные. Некоторые стойки ЧПУ допускают программирование только одного М-кода в кадре.

Прямоугольная система координат. Описание положения точки на плоскости.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Связанные термины: Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям, а общей Декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не прямоугольную)[1].

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка —началом координат. Она обозначается обычно буквой О.
Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz.


Плоскости, проходящие соответственно через оси координат ОхиОу, ОуиОz, ОzиОх, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча.

Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами (x, y, z), показывающими величины расстояний, на которые она удалена от плоскостей проекций.

Чтобы определить эти расстояния, достаточно через точку A провести прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций, определить точки A`, A”, A”` встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить величины отрезков [AA`], [AA”], [AA”`], которые укажут соответственно значение аппликаты z, ординаты y, абсциссы x точки A.

Точки A`, A”, A”` называют ортогональными проекциями точки A, при этом согласно принятым обозначениям:

Она определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами ρ и j точки M называются расстояние ρ от полюса до точки M ( ρ = |OM|) и угол j между полярной осью и вектором OM (рис. 2).

Угол j называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: ρ = 0, угол j не определен. У остальных точек ρ > 0 и угол j определен с точностью до 2π.

Обычно полагают 0 ≤ j < 2 π или − π< j ≤ π.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты ρ и j формулами

x = ρcosj y = ρsinj .



Источник: https://infopedia.su/5x31bb.html

Системы координат

Координата x y

  1. Декартова система координат.

    Начать изучение

  2. Деление отрезка в заданном отношении.

    Начать изучение

  3. Декартова прямоугольная система координат.

    Начать изучение

  4. Полярная система координат.

    Начать изучение

  5. Цилиндрические и сферические координаты.

    Начать изучение

Фиксируем в пространстве точку \(O\) и рассмотрим произвольную точку \(M\). Радиус-вектором точки \(M\) по отношению к точке \(O\) называется вектор \(\overrightarrow{OM}\). Если в пространстве кроме точки \(O\) выбран некоторый базис, то точке \(M\) сопоставляется упорядоченная тройка чисел — компоненты ее радиус-вектора.

Определение.

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

Точка носит название начала координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат; первая — осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья — осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.

Определение.

Пусть дана декартова система координат \(O\), \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\).

Компоненты \(x\), \(y\), \(z\) радиус-вектора \(\overrightarrow{OM}\) точки \(M\) называются координатами точки \(M\) в данной системе координат:$$\overrightarrow{OM} = x\boldsymbol{e_{1}} + y\boldsymbol{e_{2}} + z\boldsymbol{e_{3}}.

onumber$$

Первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой.

Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой линии. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты, а на прямой линии — одну.

Координаты точки пишут в скобках после буквы, обозначающей точку. Например, запись \(A(2,\ 1/2)\) означает, что точка \(A\) имеет координаты 2 и 1/2 в ранее выбранной декартовой системе координат на плоскости (рис. 2.1).

Рис. 2.

1

Координаты точки, как и компоненты вектора, — величины безразмерные. В частности, они не зависят от выбранной единицы измерения длин.

В самом деле, раскладывая векторы в теореме о линейной зависимости систем векторов, мы сводили дело к разложению вектора по коллинеарному с ним ненулевому вектору. А в этом случае компонента равна отношению длин, взятому с определенным знаком.

Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. С другой стороны, если задана система координат, то для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Система координат на плоскости определяет такое же соответствие между точками плоскости и парами чисел. Задание системы координат на прямой линии сопоставляет каждой точке вещественное число и каждому числу — точку.

Рис. 2.

2

Рассмотрим две точки \(A\) и \(B\), координаты которых относительно некоторой декартовой системы координат \(O\), \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\) соответственно \(x_{1}\), \(y_{1}\), \(z_{1}\) и \(x_{2}\), \(y_{2}\), \(z_{2}\). Поставим себе задачу найти компоненты вектора \(\overrightarrow{AB}\). Очевидно, что \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\) (рис. 2.2). Компоненты радиус-векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) равны (\(x_{1}\), \(y_{1}\), \(z_{1}\)) и (\(x_{2}\), \(y_{2}\), \(z_{2}\)) по определению координат. Из ранее доказанного предположения следует, что \(\overrightarrow{AB}\) имеет компоненты (\(x_{2}-x_{1}\), \(y_{2}-y_{1}\), \(z_{2}-z_{1}\)). Этим доказано следующее утверждение.

Утверждение 1.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Деление отрезка в заданном отношении

Найдем координаты точки \(M\) на отрезке \(AB\), которая делит этот отрезок в отношении \(\lambda/\mu\), то есть удовлетворяет условию$$\frac{|AM|}{|MB|} = \frac{\lambda}{\mu},\ \lambda > 0,\ \mu > 0onumber$$(рис. 2.3). Это условие можно переписать в виде$$\mu\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{MB}.\label{ref1}

$$

Рис. 2.

3

Обозначив через (\(x_{1}\), \(y_{1}\), \(z_{1}\)) и (\(x_{2}\), \(y_{2}\), \(z_{2}\)) соответственно координаты точек \(A\) и \(B\), а через (\(x\), \(y\), \(z\)) координаты точки \(M\), разложим обе части равенства по базису, причем компоненты векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MB}\) найдем по предложению 1. Тогда$$\mu(x-x_{1}) = \lambda(x_{2}-x),\ \mu(y-y_{1}) = \lambda(y_{2}-y),\ \mu(z-z_{1}) = \lambda(z_{2}-z).

onumber$$Из этих равенств можно найти \(x\), \(y\) и \(z\), поскольку \(\lambda + \mu eq 0\):$$x = \frac{\mu x_{1} + \lambda x_{2}}{\lambda + \mu},\ y = \frac{\mu y_{1} + \lambda y_{2}}{\lambda + \mu},\ z = \frac{\mu z_{1} + \lambda z_{2}}{\lambda + \mu}\label{ref2}$$

Если в формулах \eqref{ref2} мы будем считать одно из чисел \(\lambda\) или \(\mu\) отрицательным, то из равенства \eqref{ref1} увидим, что \(M\) находится на той же прямой вне отрезка \(AB\), деля его в отношении |\(\lambda/\mu\)|. Поэтому из формул \eqref{ref2} можно найти координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении как внутренним, так и внешним образом.

На плоскости и на прямой линии задача о делении отрезка решается точно так же, только из трех равенств в \eqref{ref2} остается соответственно два и одно равенство.

Декартова прямоугольная система координат

Общие декартовы системы координат используются реже, чем специальный класс таких систем — декартовы прямоугольные системы координат.

Определение.

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат.

Нетрудно проверить, что координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат в пространстве по абсолютной величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей. Они имеют знак плюс или минус в зависимости от того, лежит точка по ту же или по другую сторону от плоскости, что и конец базисного вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Аналогично находят координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.

Полярная система координат

Декартовы системы координат не единственный способ определять при помощи чисел положение точки на плоскости. Для этого используются многие другие типы координатных систем. Здесь мы опишем некоторые из них.

На плоскости часто употребляется полярная система координат. Она определена, если задана точка \(O\), называемая полюсом, и исходящий из полюса луч \(l\), который называется полярной осью.

Положение точки \(M\) фиксируется двумя числами: радиусом \(r = \overrightarrow{OM}\) и углом \(\varphi\) между полярной осью и вектором \(\overrightarrow{OM}\).

Этот угол называется полярным углом (рис. 2.4).

Рис. 2.

4

Мы будем измерять полярный угол в радианах и отсчитывать от полярной оси против часовой стрелки. У полюса \(r = 0\), а \(\varphi\) не определено. У остальных точек \(r > 0\), а \(\varphi\) определяется с точностью до слагаемого, кратного 2\(\pi\).

Это означает, что пары чисел \((r,\ \varphi)\), \((r,\ \varphi + 2\pi)\) и вообще (\(r\), \(\varphi + 2k\pi\)), где \(k\) — любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки.

Иногда ограничивают изменение полярного угла какими-нибудь условиями, например, \(0 \leq \varphi < 3\pi\) или \(-\pi < \varphi \leq \pi\). Это устраняет неоднозначность, но зато вводит другие неудобства.

Пусть задана полярная система координат и упорядоченная пара чисел \((r,\ \varphi)\), из которых первое неотрицательно. Мы можем сопоставить этой паре точку, для которой эти числа являются полярными координатами. Именно, если \(r = 0\), мы сопоставляем полюс.

Если же \(r > 0\), то паре \((r,\ \varphi)\) ставим в соответствие точку, радиус-вектор которой имеет длину \(r\) и составляет с полярной осью угол \(\varphi\).

При этом парам чисел \((r,\ \varphi)\) и \((r_{1},\ \varphi_{1})\) сопоставляется одна и та же точка, если \(r = r_{1}\), а \(\varphi = \varphi_{1} = 2\pi k\), где \(k\) — целое число.

Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, поместив ее начало в полюс \(O\) и приняв за базис векторы \(\boldsymbol{e_{1}}\) и \(\boldsymbol{e_{2}}\) длины \(l\), направленные соответственно вдоль полярной оси и под углом \(\pi/2\) к ней (угол отсчитывается против часовой стрелки). Как легко видеть из рис. 2.4, декартовы координаты точки выражаются через ее полярные координаты формулами$$x = r \cos \varphi,\ y = r \sin \varphi.\label{ref3}

$$

Цилиндрические и сферические координаты

В пространстве обобщением полярных систем координат являются цилиндрические и сферические системы координат.

И для тех, и для других фигура, относительно которой определяется положение точки, состоит из точки \(O\), луча \(l\), исходящего из \(O\), и вектора \(\boldsymbol{n}\), равного по длине 1 и перпендикулярного к \(l\).

Через точку \(O\) проведем плоскость \(\Theta\), перпендикулярную вектору \(\boldsymbol{n}\). Луч \(l\) лежит в этой плоскости.

Пусть дана точка \(M\). Опустим из нее перпендикуляр \(MM’\) на плоскость \(\Theta\).

Цилиндрические координаты точки \(M\) — это три числа \(r\), \(\varphi\), \(h\). Числа \(r\) и \(\varphi\) — полярные координаты точки \(M’\) по отношению к полюсу \(O\) и полярной оси \(l\), a \(h\) — компонента вектора \(\overrightarrow{M’M}\) по вектору \(\boldsymbol{n}\). Она определена, так как эти векторы коллинеарны (рис. 2.5).

Рис. 2.

5

Сферические координаты точки — три числа (\(r\), \(\varphi\), \(\theta\)). Они определяются так: \(r = |\overrightarrow{OM}|\). Как и для цилиндрических координат, \(\varphi\) — угол вектора \(\overrightarrow{OM_{1}}\) с лучом \(l\), а \(\theta\) — угол вектора \(\overrightarrow{OM}\) с плоскостью \(\Theta\) (рис. 2.6).

Рис. 2.

6

Источник: https://univerlib.com/analytic_geometry/vector_algebra/coordinate_systems/

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т

Координата x y

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, пря­мо­ли­ней­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат на плос­ко­сти или в про­стран­ст­ве, в ко­то­рой по­ло­же­ние точ­ки мо­жет быть оп­ре­де­ле­но как её про­ек­ции на фик­си­ро­ван­ные пря­мые, пе­ре­се­каю­щие­ся в од­ной точ­ке, на­зы­вае­мой на­ча­лом ко­ор­ди­нат. Эти про­ек­ции на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми точ­ки, а пря­мые – ося­ми ко­ор­ди­нат.

В об­щем слу­чае на плос­ко­сти Д. с. к. (аф­фин­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат) за­да­ёт­ся точ­кой $O$ (на­ча­лом ко­ор­ди­нат) и упо­ря­до­чен­ной па­рой при­ло­жен­ных к ней не ле­жа­щих на од­ной пря­мой век­то­ров $e_1$ и $e_2$ (ба­зис­ных век­то­ров).

Пря­мые, про­хо­дя­щие че­рез на­ча­ло ко­ор­ди­нат в на­прав­ле­нии ба­зис­ных век­то­ров, на­зы­ва­ют ося­ми ко­ор­ди­нат дан­ной Д. с. к. Пер­вая, оп­ре­де­ляе­мая век­то­ром $e_1$, на­зы­ва­ет­ся осью абс­цисс (или осью $Ox$), вто­рая – осью ор­ди­нат (или осью $Oy$). Са­ма Д. с. к. обо­зна­ча­ет­ся $Oe_1e_2$ или $Oxy$.

Де­кар­то­вы­ми ко­ор­ди­на­та­ми точ­ки $M$ (рис. 1) в Д. с. к. $Oe_1e_2$ на­зы­ва­ет­ся упо­ря­до­чен­ная па­ра чи­сел ($x$, $y$), ко­то­рые яв­ля­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми раз­ло­же­ния век­то­ра $\overrightarrow {OM}$ по ба­зи­су $\{e_1,e_2\}$, т. е. $x$ и $y$ та­ко­вы, что $\overrightarrow{OM}=xe_1+ye_2$.

Чис­ло $x$, $- \infty \lt x \lt \infty$, на­зы­ва­ет­ся абс­цис­сой, чис­ло $y$, $- \infty \lt y \lt \infty$, – ор­ди­на­той точ­ки $M$. Ес­ли ($x$, $y$) – ко­ор­ди­на­ты точ­ки $M$, то пи­шут $M$($x$, $y$).

Ес­ли на плос­ко­сти вве­де­ны две Д. с. к.

$Oe_1e_2$ и $O'e'_1e'_2$ так, что век­то­ры ба­зи­са $\{e'_1,e'_2\}$ вы­ра­же­ны че­рез век­то­ры ба­зи­са $\{e_1,e_2\}$ фор­му­ла­ми $$e'_1=a_{11}e_1+a_{12}e_2,\quad e'_2=a_{21}e_1+a_{22}e_2$$ и точ­ка $O'$ име­ет в Д. с. к.

 $Oe_1e_2$ ко­ор­дина­ты $(x_0,y_0)$, то ко­ор­ди­на­ты $(x,y)$ точ­ки $M$ в Д. с. к. $Oe_1e_2$ и ко­ор­ди­на­ты $(x',y')$ той же точ­ки в Д. с. к. $O'e'_1e'_2$ свя­за­ны со­от­но­ше­ния­ми $$x=a_{11}x'+a_{21}y'+x_0,\quad y=a_{12}x'+a_{22}y'+y_0.$$

Д. с. к. на­зы­ва­ют пря­мо­уголь­ной, ес­ли ба­зис $\{e_1,e_2\}$ ор­то­нор­ми­ро­ван­ный, т. е. век­то­ры $e_1$ и $e_2$ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и име­ют дли­ны, рав­ные еди­ни­це (век­то­ры $e_1$ и $e_2$ на­зы­ва­ют в этом слу­чае ор­та­ми). В пря­мо­уголь­ной Д. с.

к. ко­ор­ди­на­ты $x$ и $y$ точ­ки $M$ суть ве­ли­чи­ны ор­то­го­наль­ных про­ек­ций точ­ки $M$ на оси $Ox$ и $Oy$ со­от­вет­ст­вен­но. В пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $Oxy$ рас­стоя­ние ме­ж­ду точ­ка­ми $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$ рав­но $\sqrt {(x_2-x_1)2+(y_2-y_1)2}.$.

Фор­му­лы пе­ре­хо­да от од­ной пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $Oxy$ к дру­гой пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $O'x'y'$, на­ча­ло ко­то­рой $O'$ Д. с. к.

$Oxy$ есть $O'(x_0,y_0)$, име­ют вид $$x=x'\cos \alpha-y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha+y'\cos \alpha+y_0$$ или $$x=x'\cos \alpha+y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha-y'\cos \alpha+y_0.$$

В пер­вом слу­чае сис­те­ма $O'x'y'$об­ра­зу­ет­ся по­во­ро­том ба­зис­ных век­то­ров $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$ и по­сле­дую­щим пе­ре­но­сом на­ча­ла ко­ор­ди­нат $O$ в точ­ку $O'$ (рис.

 2), а во вто­ром слу­чае – по­во­ро­том ба­зис­ных век­то­ров $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$, по­сле­дую­щим от­ра­же­ни­ем оси, со­дер­жа­щей век­тор $e_2$ от­но­си­тель­но пря­мой, не­су­щей век­тор $e_1$, и пе­ре­но­сом на­ча­ла ко­ор­ди­нат $O$ в точ­ку $O'$ (рис. 3).

Ино­гда ис­поль­зу­ют­ся ко­со­уголь­ные Д. с. к., от­ли­чаю­щие­ся от пря­мо­уголь­ной тем, что угол ме­ж­ду еди­нич­ны­ми ба­зис­ны­ми век­то­ра­ми не яв­ля­ет­ся пря­мым.

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся об­щая Д. с. к. (аф­фин­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат) в про­стран­ст­ве: за­да­ёт­ся точ­ка $O$ – на­ча­ло ко­ор­ди­нат и упо­ря­до­чен­ная трой­ка при­ло­жен­ных к ней не ле­жа­щих в од­ной плос­ко­сти век­то­ров $e_1$, $e_2$, $e_3$ (ба­зис­ных век­то­ров).

Как и в слу­чае плос­ко­сти, оп­ре­де­ля­ют­ся оси ко­ор­ди­нат – ось абс­цисс (ось $Ox$), ось ор­ди­нат (ось $Oy$) и ось ап­пли­кат (ось $Oz$) (рис. 4). Д. с. к. в про­стран­ст­ве обо­зна­ча­ет­ся $Oe_1e_2e_3$ (или $Oxyz$).

Плос­ко­сти, про­хо­дя­щие че­рез па­ры осей ко­ор­ди­нат, на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­нат­ны­ми плос­ко­стя­ми. Д. с. к.

в про­стран­ст­ве на­зы­ва­ет­ся пра­вой, ес­ли по­во­рот от оси $Ox$ к оси $Oy$ со­вер­ша­ет­ся в на­прав­ле­нии, про­ти­во­по­лож­ном дви­же­нию ча­со­вой стрел­ки, ес­ли смот­реть на плос­кость $Oxy$ из к.-н. точ­ки по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси $Oz$, в про­ти­во­по­лож­ном слу­чае Д. с. к. на­зы­ва­ет­ся ле­вой.

Ес­ли ба­зис­ные век­то­ры $e_1$, $e_2$, $e_3$ име­ют дли­ны, рав­ные еди­ни­це, и по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то Д. с. к. на­зы­ва­ет­ся пря­мо­уголь­ной. По­ло­же­ние од­ной пря­мо­уголь­ной Д. с. к. в про­стран­ст­ве от­но­ситель­но дру­гой пря­мо­уголь­ной Д. с. к. с той же ори­ен­та­ци­ей оп­ре­де­ля­ет­ся тре­мя эй­ле­ро­вы­ми уг­ла­ми.

Д. с. к. на­зва­на по име­ни Р. Де­кар­та, хо­тя в его соч. «Гео­мет­рия» (1637) рас­смат­ри­ва­лась ко­со­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой ко­ор­ди­на­ты то­чек мог­ли быть толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми. В из­да­нии 1659–61 к «Гео­мет­рии» при­ло­же­на ра­бо­та голл.

ма­те­ма­ти­ка И. Гуд­де, в ко­то­рой впер­вые до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния ко­ор­ди­нат. Про­стран­ст­вен­ную Д. с. к. ввёл франц. ма­те­ма­тик Ф. Ла­ир (1679). В нач. 18 в.

ус­та­но­ви­лись обо­зна­че­ния $x$, $y$, $z$ для де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат.

Источник: https://bigenc.ru/mathematics/text/1945043

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.