Обозначение системы координат

Содержание

Система координат в геодезии, в топографии, в картографии

Обозначение системы координат

Пойдем прямым логическим путем, не отвлекаясь на многие современные международные и отечественные научные термины. Систему координат можно изобразить как некую систему отсчета ориентированную на плоскости двумя направлениями, а в пространстве тремя.

Если вспомнить математическую систему, то она представлена двумя взаимно перпендикулярными направлениями, имеющими названия осей абсцисс (X) и ординат (Y). Ориентированы они в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно.

Пересечение этих линий является началом координат с нулевыми значениями в абсолютной величине. А местоположение точек на плоскости определяется при помощи двух координат X и Y. В геодезии ориентирование осей на плоскости отличается от математики.

Плоскостная прямоугольная система определена осью X в вертикальном положении (в направлении на север) и осью Y в горизонтальном (в направлении на восток). 

Классификация систем координат 

В геодезии все системы координат можно представить в виде двух групп:

  • прямолинейная прямоугольная
  • полярная

В обеих группах выделяют как плоские (двухмерные), так и пространственные (трехмерные) системы.

К прямолинейным прямоугольным системам относятся цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера, индивидуальные референцные и местные системы координат.

К полярным системам можно отнести географическую, астрономическую и геодезическую, геоцентрические и топоцентрические системы. 

Географическая система координат

Замкнутая поверхность внешнего контура Земли представлена сфероидной геометрической формой. За основные направления ориентирования на ней можно принять дуги на поверхности шара. На упрощенно представленном уменьшенном макете нашей планеты в виде глобуса (фигура земли) можно зрительно увидеть принятые линии отсчета в виде Гринвичского меридиана и экваториальной линии.

В этом примере выражена общепринятая во всем мире именно пространственная система географических координат. В ней введены понятия долготы и широты. Имея градусные единицы измерения, они представляют угловую величину. Многим знакомы их определения.

Следует напомнить, что географическая долгота конкретной точки представляет угол между двумя плоскостями, проходящими через нулевой (Гринвичский) меридиан и меридиан в определяемой точке расположения.

Под географической широтой точки принят угол, образующийся между отвесной линией (или нормалью) к ней и плоскостью экватора. 

Понятия астрономической и геодезической системы координат и их различия 

Географическая система условно объединяет астрономическую и геодезическую системы. Для того чтобы было понятно какие все-таки существуют различия обратите внимание на определения геодезических и астрономических координат (долготы, широты, высоты).

В астрономической системе широта рассматривается как угол между экваториальной плоскостью и отвесной линией в точке определения. А сама форма Земли в ней рассматривается как условный геоид, математически приближенно приравненный к сфере.

В геодезической системе широта образовывается нормалью к поверхности земного эллипсоида в конкретной точке и плоскостью экватора. Третьи координаты в этих системах дают окончательное представление в их различиях.

Астрономическая (ортометрическая) высота представляет собой превышение по отвесной линии между фактической и точкой на поверхности уровенного геоида. Геодезической высотой считается расстояние по нормали от поверхности эллипсоида до точки вычисления. 

Система плоских прямоугольных систем координат Гаусса-Крюгера 

Каждая система координат имеет свое теоретическое научное и практическое экономическое применение, как в глобальном, так и региональном масштабах. В некоторых конкретных случаях возможно использование референцных, местных  и условных систем координат, но которые через математические расчеты и вычисления все равно могут быть объединены между собой.

Геодезическая прямоугольная плоская система координат является проекцией отдельных шестиградусных зон эллипсоида. Вписав эту фигуру внутрь горизонтально расположенного цилиндра, каждая зона отдельно проецируется на внутреннюю цилиндрическую поверхность.

Зоны такого сфероида ограничиваются меридианами с шагом в шесть градусов. При развертывании на плоскости получается проекция, которая имеет название в честь немецких ученых её разработавших Гаусса-Крюгера.

В таком способе проецирования углы между любыми направлениями сохраняют свои величины. Поэтому иногда ее называют еще равноугольной. Ось абсцисс в зоне проходит по центру, через условный осевой меридиан (ось X), а ось ординат по линии экватора (ось Y).

Длины линий вдоль осевого меридиана передается без искажений, а вдоль экваториальной линии с искажениями к краям зоны. 

Полярная система координат 

Кроме выше описанной прямоугольной системы координат следует отметить наличие и использование в решении геодезических задач плоской полярной системы координат. За исходное отсчетное направление в ней применяется ось северного (полярного) направления, откуда и название.

Для определения местоположения точек на плоскости используют полярный (дирекционный) угол и радиус-вектор (горизонтальное проложение) до точки. Напомним, что дирекционным углом считается угол, отсчитываемый от исходного (северного) направления до определяемого.

Радиус-вектор выражается в определении горизонтального проложения. К пространственной полярной системе добавляется геодезические измерения вертикального угла и наклонного расстояния для определения 3D-положения точек.

Этот способ практически ежедневно применяется в тригонометрическом нивелировании, топографической съемке и для развития геодезических сетей. 

Геоцентрические и топоцентрические системы координат 

По такому же полярному методу частично устроены и спутниковые геоцентрическая и топоцентрическая системы координат, с той лишь разницей, что основные оси трехмерного пространства (X, Y, Z) имеют отличные начала и направления.

В геоцентрической системе началом координат является центр масс Земли. Ось X имеет направление по Гринвичскому меридиану к экватору. Ось Y располагают в прямоугольном положении на восток от X. Ось Z изначально имеет полярное направление по малой оси эллипсоида.

Координатами в ней считаются:

  • в экваториальной плоскости геоцентрическое прямое восхождение спутника
  • в меридианной плоскости геоцентрическое склонение спутника
  • геоцентрический радиус-вектор расстояние от центра тяжести Земли до спутника.

При наблюдении за движением спутников из точки стояния на земной поверхности используют топоцентрическую систему, оси координат которой расположены параллельно осям геоцентрической системы, а ее началом считается пункт наблюдения. Координаты в такой системе:

  • топоцентрическое прямое восхождение спутника
  • топоцентрическое склонение спутника
  • топоцентрический радиус-вектор спутника
  • геоцентрический радиус вектор в точке наблюдений.

В современные  спутниковые глобальные системы отсчета WGS-84, ПЗ-90 входят не только координаты, но и другие параметры и характеристики важные для геодезических измерений, наблюдений и навигации. К ним относятся геодезические и другие константы:

  • исходные геодезические даты
  • данные земного эллипсоида
  • модель геоида
  • модель гравитационного поля
  • значения величины гравитационной постоянной
  • значение скорости света и другие.

Источник: https://geostart.ru/post/22

Системы координат, применяемые в геодезии и топографии

Обозначение системы координат

Для решения большинства задач в прикладных науках необходимо знать местоположение объекта или точки, которое определяется с помощью применения одной из принятых систем координат. Кроме того, имеются системы высот, которые также определяют высотное местонахождение точки на поверхности Земли.

Что такое координаты

Координаты – числовые или буквенные значения, с помощью которых можно определить место, где расположена точка на местности. Как следствие, система координат – это совокупность однотипных значений, имеющих одинаковый принцип нахождения точки или объекта.

Нахождение местоположения точки требуется для решения многих практических задач. В такой науке, как геодезия, определение местонахождения точки в заданном пространстве – главная цель, на достижении которой строится вся последующая работа.

Большинство систем координат, как правило, определяют расположение точки на плоскости, ограниченной только двумя осями. Для того чтобы определить позицию точки в трехмерном пространстве, применяется также система высот. С ее помощью можно узнать точное местонахождение искомого объекта.

Кратко о системах координат, применяемых в геодезии

Системы координат определяют местоположение точки на территории земной поверхности, задавая ей три значения. Принципы их расчета различны для каждой координатной системы.

Основные пространственные системы координат, применяемые в геодезии:

  1. Геодезические.
  2. Географические.
  3. Полярные.
  4. Прямоугольные.
  5. Зональные координаты Гаусса-Крюгера.

Все системы имеют свою начальную точку отсчета, величины для местонахождения объекта и области применения.

Геодезические координаты

Основной фигурой, применяемой для отсчета геодезических координат, является земной эллипсоид.

Эллипсоид – трехмерная сжатая фигура, которая наилучшим образом представляет собой фигуру земного шара. Ввиду того что земной шар – математически неправильная фигура, вместо нее для определения геодезических координат используют именно эллипсоид. Это облегчает осуществление многих расчетов для определения положения тела на поверхности.

Геодезические координаты определяются тремя значениями: геодезической широтой, долготой и высотой.

  1. Геодезическая широта – это угол, начало которого лежит на плоскости экватора, а конец – у перпендикуляра, проведенного к искомой точке.
  2. Геодезическая долгота – это угол, который отсчитывают от нулевого меридиана до меридиана, на котором находится искомая точка.
  3. Геодезическая высота – величина нормали, проведенной к поверхности эллипсоида вращения Земли от данной точки.

Для решения высокоточных задач высшей геодезии необходимо различать геодезические и географические координаты. В системе, применяемой в инженерной геодезии, таких различий, ввиду небольшого пространства, охватываемого работами, как правило, не делают.

Для определения геодезических координат в качестве плоскости отсчета используют эллипсоид, а для определения географических – геоид. Геоид является математически неправильной фигурой, более приближенной к фактической фигуре Земли. За его уровненную поверхность принимают ту, что продолжена под уровнем моря в его спокойном состоянии.

Географическая система координат, применяемая в геодезии, описывает позицию точки в пространстве с указанием трех значений.

Определение географической долготы совпадает с геодезической, так как точкой отсчета также будет нулевой меридиан, называемый Гринвичским. Он проходит через одноименную обсерваторию в городе Лондоне.

Географическая широта определяется от экватора, проведенного на поверхности геоида.

Высота в системе местных координат, применяемой в геодезии, отсчитывается от уровня моря в его спокойном состоянии. На территории России и стран бывшего Союза отметкой, от которой производят определение высот, является Кронштадтский футшток. Он расположен на уровне Балтийского моря.

Полярные координаты

Полярная система координат, применяемая в геодезии, имеет другие нюансы произведения измерений.

Она применяется на небольших участках местности для определения относительного местоположения точки. Началом отсчета может являться любой объект, отмеченный как исходный.

Таким образом, с помощью полярных координат нельзя определить однозначное местонахождение точки на территории земного шара.

Полярные координаты определяются двумя величинами: углом и расстоянием. Угол отсчитывается от северного направления меридиана до заданной точки, определяя ее положение в пространстве. Но одного угла будет недостаточно, поэтому вводится радиус-вектор – расстояние от точки стояния до искомого объекта. С помощью этих двух параметров можно определить местоположение точки в местной системе.

Как правило, эта система координат используется для выполнения инженерных работ, проводимых на небольшом участке местности.

Прямоугольные координаты

Прямоугольная система координат, применяемая в геодезии, также используется на небольших участках местности. Главным элементом системы является координатная ось, от которой происходит отсчет. Координаты точки находятся как длина перпендикуляров, проведенных от осей абсцисс и ординат до искомой точки.

Северное направление оси Х и восточное оси У считаются положительными, а южное и западное – отрицательными. В зависимости от знаков и четвертей определяют нахождение точки в пространстве.

Координаты Гаусса-Крюгера

Координатная зональная система Гаусса-Крюгера схожа с прямоугольной. Различие в том, что она может применяться для всей территории земного шара, а не только для небольших участков.

Прямоугольные координаты зон Гаусса-Крюгера, по сути, являются проекцией земного шара на плоскость. Она возникла в практических целях для изображения больших участков Земли на бумаге. Искажения, возникающие при переносе, считаются незначительными.

Согласно этой системе, земной шар делится по долготе на шестиградусные зоны с осевым меридианом посередине. Экватор находится в центре по горизонтальной линии. В итоге насчитывается 60 таких зон.

Каждая из шестидесяти зон имеет собственную систему прямоугольных координат, отсчитываемую по оси ординат от осевого меридиана Х, а по оси абсцисс – от участка земного экватора У. Для однозначного определения местоположения на территории всего земного шара перед значениями Х и У ставят номер зоны.

Значения оси Х на территории России, как правило, являются положительными, в то время как значения У могут быть и отрицательными. Для того чтобы избежать знака минус в величинах оси абсцисс, осевой меридиан каждой зоны условно переносят на 500 метров на запад. Тогда все координаты становятся положительными.

Система координат была предложена Гауссом в качестве возможной и рассчитана математически Крюгером в середине двадцатого века. С тех пор она используется в геодезии в качестве одной из основных.

Система высот

Системы координат и высот, применяемые в геодезии, используются для точного определения положения точки на территории Земли. Абсолютные высоты отсчитываются от уровня моря или другой поверхности, принятой за исходную.

Кроме того, имеются относительные высоты. Последние отсчитываются как превышение от искомой точки до любой другой. Их удобно применять для работы в местной системе координат с целью упрощения последующей обработки результатов.

Применение систем координат в геодезии

Помимо вышеперечисленных, имеются и другие системы координат, применяемые в геодезии. Каждая из них имеет свои преимущества и недостатки. Есть также свои области работы, для которых актуален тот или иной способ определения местоположения.

Именно цель работы определяет, какие системы координат, применяемые в геодезии, лучше использовать. Для работы на небольших территориях удобно использовать прямоугольную и полярную системы координат, а для решения масштабных задач необходимы системы, позволяющие охватить всю территорию земной поверхности.

Источник: https://FB.ru/article/352671/sistemyi-koordinat-primenyaemyie-v-geodezii-i-topografii

Что такое географические координаты?Почему не совпадают координаты ? Датум и сферойд карты.- Автомобильный туристический навигатор Garmin, эхолот, вид

Обозначение системы координат

Что такое географические координаты?Почему не совпадают координаты ? Датум и сферойд карты.

Весь материал взят из Википедии — свободной энциклопедии

Географи́ческие координа́ты – определяют положение точки на земной поверхности или, более широко, в географической оболочке. Географические координаты строятся по принципу сферических. Аналогичные координаты применяются на других планетах, а также на небесной сфере[1].

Широта́ — угол φ между местным направлением зенита и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0° до 90° в обе стороны от экватора.

Географическую широту точек, лежащих в северном полушарии, (северную широту) принято считать положительной, широту точек в южном полушарии — отрицательной.

О широтах, близких к полюсам, принято говорить как о высоких, а о близких к экватору — как о низких.

Из-за отличия формы Земли от шара, географическая широта точек несколько отличается от их геоцентрической широты, то есть от угла между направлением на данную точку из центра Земли и плоскостью экватора.

Широту места можно определить с помощью таких астрономических инструментов, как секстант или гномон (прямое измерение), также можно воспользоваться системами GPS или ГЛОНАСС (косвенное измерение).

Долгота́ — двугранный угол λ между плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, и плоскостью начального нулевого меридиана, от которого ведётся отсчёт долготы. Долготу от 0° до 180° к востоку от нулевого меридиана называют восточной, к западу — западной. Восточные долготы принято считать положительными, западные — отрицательными.

Выбор нулевого меридиана произволен и зависит только от соглашения. Сейчас за нулевой меридиан принят Гринвичский меридиан, проходящий через обсерваторию в Гринвиче, на юго-востоке Лондона. В качестве нулевого ранее выбирались меридианы обсерваторий Парижа, Кадиса, Пулкова и т. д.

От долготы зависит местное солнечное время.

Высота

Чтобы полностью определить положение точки трёхмерного пространства, необходима третья координата — высота. Расстояние до центра планеты не используется в географии: оно удобно лишь при описании очень глубоких областей планеты или, напротив, при расчёте орбит в космосе.

В пределах географической оболочки применяется обычно высота над уровнем моря, отсчитываемая от уровня «сглаженной» поверхности — геоида. Такая система трёх координат оказывается ортогональной, что упрощает ряд вычислений. Высота над уровнем моря удобна ещё тем, что связана с атмосферным давлением.

Расстояние от земной поверхности (ввысь или вглубь) часто используется для описания места, однако не служит координатой.

Полусвободная в азимуте система координат

Полусвободная в азимуте С. К. отличается от Г. С.К. только одним уравнением, которое имеет вид:

ω U p = U sin ⁡ ( φ ) {\displaystyle \omega _{Up}=U\sin(\varphi )}

Соответственно, система имеет тоже начальное положение, осуществляется по формуле[2]

N = Y w cos ⁡ ( ε ) + X w sin ⁡ ( ε ) {\displaystyle N=Y_{w}\cos(\varepsilon )+X_{w}\sin(\varepsilon )} E = − Y w sin ⁡ ( ε ) + X w cos ⁡ ( ε ) {\displaystyle E=-Y_{w}\sin(\varepsilon )+X_{w}\cos(\varepsilon )}

В реальности все расчёты ведутся именно в этой системе, а потом, для выдачи выходной информации происходит преобразование координат в ГСК.

Форматы записи географических координат

Для записи географических координат может использоваться любой эллипсоид (или геоид), но чаще всего используются WGS 84 и Красовского (на территории РФ).

Координаты (широта от −90° до +90°, долгота от −180° до +180°) могут записываться:

  • в ° градусах в виде десятичной дроби (современный вариант)
  • в ° градусах и ′ минутах с десятичной дробью (самый современный вариант)
  • в ° градусах, ′ минутах и ″ секундах с десятичной дробью (исторически сложившаяся форма записи)

Разделителем десятичной дроби может служить точка или запятая. Положительные знаки координат представляются (в большинстве случаев опускаемым) знаком «+» либо буквами: «N» — северная широта и «E» — восточная долгота. Отрицательные знаки координат представляются либо знаком «−», либо буквами: «S» — южная широта и «W» — западная долгота. Буквы могут стоять как впереди, так и сзади.

Единых правил записи координат не существует.

На картах поисковых систем по умолчанию показываются координаты в градусах с десятичной дробью со знаком «−» для отрицательной долготы.

На картах Google и картах Яндекс вначале широта, затем долгота (до октября 2012 на картах Яндекс был принят обратный порядок: сначала долгота, потом широта).

Эти координаты видны, например, при прокладке маршрутов от произвольных точек. При поиске распознаются и другие форматы.

В навигаторах по умолчанию чаще показываются градусы и минуты с десятичной дробью с буквенным обозначением, например, в Navitel, в iGO. Вводить координаты можно и в соответствии с другими форматами. Формат градусы и минуты рекомендуется также при радиообмене в морском деле. [источник не указан 1939 дней]

В то же время часто используется и исконный способ записи с градусами, минутами и секундами.

В настоящее время координаты могут записываться одним из множества способов или дублироваться двумя основными (с градусами и с градусами, минутами и секундами)[3].

Как пример, варианты записи координат знака «Нулевой километр автодорог Российской Федерации» — 55°45′21″ с. ш. 37°37′04″ в. д. (G) (O) (Я):

  • 55,755831°, 37,617673° — градусы
  • N55.755831°, E37.617673° — градусы (+ доп. буквы)
  • 55°45.35′N, 37°37.06′E — градусы и минуты (+ доп. буквы)
  • 55°45′20.9916″N, 37°37′3.6228″E — градусы, минуты и секунды (+ доп. буквы)

При необходимости форматы можно пересчитать самостоятельно: 1° = 60′ (минутам), 1′ (минута) = 60″ (секундам). Также можно использовать специализированные сервисы. См. ссылки.

Датум карты

Датум (лат. Datum) — набор параметров, используемых для смещения и трансформации референц-эллипсоида в локальные географические координаты.

Понятие «Датум» используется в геодезии и картографии для наилучшей аппроксимации к геоиду в данном месте. Датум задается смещением референц-эллипсоида по осям: X, Y, Z, а также поворотом декартовой системы координат в плоскости осей на угол rX, rY, rZ. Также необходимо знать параметры референц-эллипсоида а и f, где а — размер большой полуоси, f — сжатие эллипсоида.

Чаще всего с датумами приходится сталкиваться в GPS-приемниках, в ГИС-системах и в картографии при использовании какой-либо локальной координатной сети.

Преобразование координат в таких системах из одного датума в другой может, в общем случае, выполняться автоматически.

Неверная установка датума (либо неправильное его преобразование) в итоге дает горизонтальные и вертикальные ошибки определения места величиной от нескольких до сотни и даже больше метров.

WGS 84 (англ. World Geodetic System 1984) — всемирная система геодезических параметров Земли 1984 года, в число которых входит система геоцентрических координат. В отличие от локальных систем, является единой системой для всей планеты. Предшественниками WGS 84 были системы WGS 72, WGS 66 и WGS 60.

WGS 84 определяет координаты относительно центра масс Земли, погрешность составляет менее 2 см. В WGS 84 нулевым меридианом считается Опорный меридиан, проходящий в 5,31″(~100 м) к востоку от Гринвичского меридиана. За основу взят эллипсоид с бóльшим радиусом — 6 378 137 м (экваториальный) и меньшим — 6 356 752,3142 м (полярный). Практическая реализация идентична отсчётной основе ITRF.

Список датумов

  • WGS84 (World Geodetic System 1984). Глобальный датум, использующий геоцентрический общемировой эллипсоид, вычисленный по результатам точных спутниковых измерений. Используется в системе GPS. В настоящее время принят как основной в США.
  • Пулково-1942 (СК-42, Система координат 1942) Локальный датум, использующий эллипсоид Красовского, максимально подходящего к европейской территории СССР. Основной (по распространенности) датум в СССР и постсоветском пространстве.
  • ПЗ-90 (Параметры Земли 1990) Глобальный датум, основной (с 2012 года) в Российской Федерации.
  • NAD27 (Nord American Datum 1927). Локальный датум для североамериканского континента.
  • NAD83 (Nord American Datum 1983). Локальный датум для североамериканского континента.

Всего известно несколько десятков локальных датумов для разных регионов Земли. Почти каждый из них имеет несколько модификаций.

Источник: http://gps-vologda.ru/koordinaty-sferoid-datum

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т

Обозначение системы координат

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, пря­мо­ли­ней­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат на плос­ко­сти или в про­стран­ст­ве, в ко­то­рой по­ло­же­ние точ­ки мо­жет быть оп­ре­де­ле­но как её про­ек­ции на фик­си­ро­ван­ные пря­мые, пе­ре­се­каю­щие­ся в од­ной точ­ке, на­зы­вае­мой на­ча­лом ко­ор­ди­нат. Эти про­ек­ции на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми точ­ки, а пря­мые – ося­ми ко­ор­ди­нат.

В об­щем слу­чае на плос­ко­сти Д. с. к. (аф­фин­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат) за­да­ёт­ся точ­кой $O$ (на­ча­лом ко­ор­ди­нат) и упо­ря­до­чен­ной па­рой при­ло­жен­ных к ней не ле­жа­щих на од­ной пря­мой век­то­ров $e_1$ и $e_2$ (ба­зис­ных век­то­ров).

Пря­мые, про­хо­дя­щие че­рез на­ча­ло ко­ор­ди­нат в на­прав­ле­нии ба­зис­ных век­то­ров, на­зы­ва­ют ося­ми ко­ор­ди­нат дан­ной Д. с. к. Пер­вая, оп­ре­де­ляе­мая век­то­ром $e_1$, на­зы­ва­ет­ся осью абс­цисс (или осью $Ox$), вто­рая – осью ор­ди­нат (или осью $Oy$). Са­ма Д. с. к. обо­зна­ча­ет­ся $Oe_1e_2$ или $Oxy$.

Де­кар­то­вы­ми ко­ор­ди­на­та­ми точ­ки $M$ (рис. 1) в Д. с. к. $Oe_1e_2$ на­зы­ва­ет­ся упо­ря­до­чен­ная па­ра чи­сел ($x$, $y$), ко­то­рые яв­ля­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми раз­ло­же­ния век­то­ра $\overrightarrow {OM}$ по ба­зи­су $\{e_1,e_2\}$, т. е. $x$ и $y$ та­ко­вы, что $\overrightarrow{OM}=xe_1+ye_2$.

Чис­ло $x$, $- \infty \lt x \lt \infty$, на­зы­ва­ет­ся абс­цис­сой, чис­ло $y$, $- \infty \lt y \lt \infty$, – ор­ди­на­той точ­ки $M$. Ес­ли ($x$, $y$) – ко­ор­ди­на­ты точ­ки $M$, то пи­шут $M$($x$, $y$).

Ес­ли на плос­ко­сти вве­де­ны две Д. с. к.

$Oe_1e_2$ и $O'e'_1e'_2$ так, что век­то­ры ба­зи­са $\{e'_1,e'_2\}$ вы­ра­же­ны че­рез век­то­ры ба­зи­са $\{e_1,e_2\}$ фор­му­ла­ми $$e'_1=a_{11}e_1+a_{12}e_2,\quad e'_2=a_{21}e_1+a_{22}e_2$$ и точ­ка $O'$ име­ет в Д. с. к.

 $Oe_1e_2$ ко­ор­дина­ты $(x_0,y_0)$, то ко­ор­ди­на­ты $(x,y)$ точ­ки $M$ в Д. с. к. $Oe_1e_2$ и ко­ор­ди­на­ты $(x',y')$ той же точ­ки в Д. с. к. $O'e'_1e'_2$ свя­за­ны со­от­но­ше­ния­ми $$x=a_{11}x'+a_{21}y'+x_0,\quad y=a_{12}x'+a_{22}y'+y_0.$$

Д. с. к. на­зы­ва­ют пря­мо­уголь­ной, ес­ли ба­зис $\{e_1,e_2\}$ ор­то­нор­ми­ро­ван­ный, т. е. век­то­ры $e_1$ и $e_2$ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и име­ют дли­ны, рав­ные еди­ни­це (век­то­ры $e_1$ и $e_2$ на­зы­ва­ют в этом слу­чае ор­та­ми). В пря­мо­уголь­ной Д. с.

к. ко­ор­ди­на­ты $x$ и $y$ точ­ки $M$ суть ве­ли­чи­ны ор­то­го­наль­ных про­ек­ций точ­ки $M$ на оси $Ox$ и $Oy$ со­от­вет­ст­вен­но. В пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $Oxy$ рас­стоя­ние ме­ж­ду точ­ка­ми $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$ рав­но $\sqrt {(x_2-x_1)2+(y_2-y_1)2}.$.

Фор­му­лы пе­ре­хо­да от од­ной пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $Oxy$ к дру­гой пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $O'x'y'$, на­ча­ло ко­то­рой $O'$ Д. с. к.

$Oxy$ есть $O'(x_0,y_0)$, име­ют вид $$x=x'\cos \alpha-y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha+y'\cos \alpha+y_0$$ или $$x=x'\cos \alpha+y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha-y'\cos \alpha+y_0.$$

В пер­вом слу­чае сис­те­ма $O'x'y'$об­ра­зу­ет­ся по­во­ро­том ба­зис­ных век­то­ров $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$ и по­сле­дую­щим пе­ре­но­сом на­ча­ла ко­ор­ди­нат $O$ в точ­ку $O'$ (рис.

 2), а во вто­ром слу­чае – по­во­ро­том ба­зис­ных век­то­ров $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$, по­сле­дую­щим от­ра­же­ни­ем оси, со­дер­жа­щей век­тор $e_2$ от­но­си­тель­но пря­мой, не­су­щей век­тор $e_1$, и пе­ре­но­сом на­ча­ла ко­ор­ди­нат $O$ в точ­ку $O'$ (рис. 3).

Ино­гда ис­поль­зу­ют­ся ко­со­уголь­ные Д. с. к., от­ли­чаю­щие­ся от пря­мо­уголь­ной тем, что угол ме­ж­ду еди­нич­ны­ми ба­зис­ны­ми век­то­ра­ми не яв­ля­ет­ся пря­мым.

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся об­щая Д. с. к. (аф­фин­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат) в про­стран­ст­ве: за­да­ёт­ся точ­ка $O$ – на­ча­ло ко­ор­ди­нат и упо­ря­до­чен­ная трой­ка при­ло­жен­ных к ней не ле­жа­щих в од­ной плос­ко­сти век­то­ров $e_1$, $e_2$, $e_3$ (ба­зис­ных век­то­ров).

Как и в слу­чае плос­ко­сти, оп­ре­де­ля­ют­ся оси ко­ор­ди­нат – ось абс­цисс (ось $Ox$), ось ор­ди­нат (ось $Oy$) и ось ап­пли­кат (ось $Oz$) (рис. 4). Д. с. к. в про­стран­ст­ве обо­зна­ча­ет­ся $Oe_1e_2e_3$ (или $Oxyz$).

Плос­ко­сти, про­хо­дя­щие че­рез па­ры осей ко­ор­ди­нат, на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­нат­ны­ми плос­ко­стя­ми. Д. с. к.

в про­стран­ст­ве на­зы­ва­ет­ся пра­вой, ес­ли по­во­рот от оси $Ox$ к оси $Oy$ со­вер­ша­ет­ся в на­прав­ле­нии, про­ти­во­по­лож­ном дви­же­нию ча­со­вой стрел­ки, ес­ли смот­реть на плос­кость $Oxy$ из к.-н. точ­ки по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси $Oz$, в про­ти­во­по­лож­ном слу­чае Д. с. к. на­зы­ва­ет­ся ле­вой.

Ес­ли ба­зис­ные век­то­ры $e_1$, $e_2$, $e_3$ име­ют дли­ны, рав­ные еди­ни­це, и по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то Д. с. к. на­зы­ва­ет­ся пря­мо­уголь­ной. По­ло­же­ние од­ной пря­мо­уголь­ной Д. с. к. в про­стран­ст­ве от­но­ситель­но дру­гой пря­мо­уголь­ной Д. с. к. с той же ори­ен­та­ци­ей оп­ре­де­ля­ет­ся тре­мя эй­ле­ро­вы­ми уг­ла­ми.

Д. с. к. на­зва­на по име­ни Р. Де­кар­та, хо­тя в его соч. «Гео­мет­рия» (1637) рас­смат­ри­ва­лась ко­со­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой ко­ор­ди­на­ты то­чек мог­ли быть толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми. В из­да­нии 1659–61 к «Гео­мет­рии» при­ло­же­на ра­бо­та голл.

ма­те­ма­ти­ка И. Гуд­де, в ко­то­рой впер­вые до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния ко­ор­ди­нат. Про­стран­ст­вен­ную Д. с. к. ввёл франц. ма­те­ма­тик Ф. Ла­ир (1679). В нач. 18 в.

ус­та­но­ви­лись обо­зна­че­ния $x$, $y$, $z$ для де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат.

Источник: https://bigenc.ru/mathematics/text/1945043

Как определить прямоугольные координаты на топографической карте

Обозначение системы координат

Координаты являются методом обозначения точки на карте. В картографии используются различные координаты: плоские, прямоугольные, угловые, биполярные и полярные. В целях обозначения объектов недвижимого имущества на топографических картах применяются прямоугольные координаты. Ведь определение прямоугольных координат на топографических картах гораздо проще и точнее.

Понятие прямоугольных координат

Прямоугольные координаты представлены в виде точек пересечения предполагаемых линий по данным взаимно перпендикулярных осей на плоской поверхности.

Обычно данные оси на плоскости условно обозначаются латинскими буквами x (абсцисса), y (ордината).

Предполагаемые линии, пересечение которых является точкой местоположения, определяются по целым и дробным числовым показателям на указанных осях.

В классической науке такая система носит название декартовая система. Однако классическая система Декарта и применяемая в целях топографического обозначения объектов на карте несколько различаются между собой. Так, в системе расположение осей повернуто на 90 градусов по углу. Названа такая система в честь основателя – Гаусса.

Система Гаусса используется для разделения всей территории Земли на отдельные зоны. Внутри каждой из зон координат идёт обозначение своих числовых выражений предполагаемых линий определения точек. Важным моментом является установление точки отсчёта внутри зоны.

Обычно в качестве такой точки выступает место пересечения срединного меридиана в полосе с экватором планеты. Данная точка не имеет материальной величины, так что обозначается она в качестве нулевой отметки, а её значение всегда равно нулю.

В целом такая система имеет вид сетки с бесконечным количеством числовых значений. Там могут отображаться две группы числовых значений:

  1. Значения со знаком минус – для обозначения объектов, находящихся южнее и к западу нулевой отметки.
  2. Положительные числовые значения – для указания мест расположения точек восточнее и севернее центральной точки системы координат.

Однако это не полная характеристика значений, указываемых в прямоугольных координатах точек на топографических картах. К примеру, при обозначении точек расположения на топографических картах отрицательные значение не используются.

Координатные зоны по системе Гаусса по всей земной поверхности пронумерованы. При обозначении точек на отдельных зонах помимо координат внутри самой зоны указывается номер, который приурочен к указанному квадрату по системе Гаусса.

Данный номер указывается перед отрицательными значениями координат на оси ординат. На оси абсцисс номер зоны не указывается. Указание номера означает смещение нулевой отметки на 500 км в левую сторону. Это сделано, чтобы исключить наличие значений со знаком минус на карте.

Значения обозначаются в километрах и равны они промежутку от нулевой отметки на оси до соответствующего места на карте.

Значение при этом указывается двояко:

  1. Полные координаты – указывается промежуток с точностью до метра.
  2. Сокращённые координаты – обозначаются лишь километры до десятков и метры.

Однако в основном используются полные координаты, так как точное указание местоположения точки имеет большое значение в топографических целях. Сокращённые координаты допускается использовать лишь в случае, когда топографическая карта охватывает не более 10 тысяч квадратных километров, т. е. реальные длины осей не превышают ста километров.

При обозначении отрицательного значения на оси У указывается сначала ось, потом номер зоны по системе Гаусса и в конце промежуток от нулевой отметки до объекта на карте. Примерно, прямоугольные координаты точки на топографической карте выглядят следующим образом: х = 5 650 450; у = 3 620 840.

В подобном случае значение по оси Х толкуется прямо, а для установления отдалённости точки по ординате от нулевой отметки из указанного значения вычитается 500 километров. А это значит, что точка в указанном примере находится в 5 650 километрах и 450 метрах от экватора и 120 километрах и 840 метрах от срединного меридиана.

Определение точек на карте по координатной сетке

Координатную сеть иначе ещё называют километровой, так как на мелких картах величина квадратов сетки равняется километру. На подобных картах километровая сеть изображается в виде линий, прочерченных параллельно осями и имеющих определённый интервал между собой. Интервал устанавливается в зависимости от масштаба.

Так, при масштабе 1 : 25 000 значение интервала равняется 4 сантиметрам. При большем масштабе интервал не бывает меньше 2 сантиметров, невзирая на реальное расстояние между линиями. При масштабе больше чем 1 : 500 000 сетка прямо не изображается. Обозначаются лишь выходные метки по краям карты.

Координатная сеть является условной для отдельной зоны, и для сопоставления топографии соседних зон по краям карты оставляются отметки сетки, которые соответствуют выходам сетки соседней зоны.

При обозначении значений координат на топографических картах координатная сеть позволяет быстрее обозначить необходимую точку. Отсчет расстояния идёт от границ квадрата координатной сетки. Каждая из сторон отдельного квадрата сетки имеет заранее определенную реальную длину в километрах (1, 2 и т. д. километров).

Чтобы осуществить определение координат  точек на картах, очень важно иметь ориентиры. Если изначальное координаты ясны и нужно лишь указать их на карте, то делается это следующим образом:

  1. Определяется квадрат на сетке по километру координат.
  2. При помощи линейки отсчитываются метровые величины внутри квадрата, сначала по параллельной линии к оси абсцисс, затем к оси ординат.
  3. Вдоль линий указываются метровые значения.

В целом процедура завершена. Однако на практике не всё так просто. Зачастую не имеется значения изначальных координат. В таких случаях важно иметь определенные ориентиры, без которых найти точку представляется невозможным. В качестве ориентира может послужить любая близлежащая точка с известными координатами. Достаточно выяснить реальное расстояние между известной точкой и искомым объектом.

Указать адрес точки на карте на 100 % точно невозможно, так что определяются примерные значения.

С другой стороны, современные технологии позволяют произвести точные измерения на месте с моментальным отображением результатов на электронной топографической карте. Для этого применяются методы лазерного измерения или радиолокации. В любом случае при практической необходимости выяснения местоположения того или иного объекта недвижимости правильным решением будет обратиться к специалистам.

В качестве специалистов могут выступать:

  • инженеры государственной службы геодезии и картографии (кадастр);
  • специалисты частных инженерных служб.

При этом частные инженерные службы в своём распоряжении имеют более высокотехнологичное, а значит и более точное оборудование, нежели государственные органы. Разумеется, услуги таких специалистов стоят не дёшево.

Соотношение прямоугольных координат с другими системами обозначения точек на карте

Помимо непосредственного использования прямоугольной системы или системы Гаусса часто возникает необходимость сопоставления данных в указанной системе и на обычной географической карте. В таких случаях используется несколько методов:

  1. Метод перевода значения из числового значения в стандартные значения (широты и долготы).
  2. Способ наложения значения расстояний по масштабу.
  3. Метод сопоставления географической карты с целой зоны Гаусса.

Практическое применение находит лишь первый метод, так как он признан официальным способом переложения координат объектов недвижимости из обычной топографической карты в географическую. Именно данный способ используют государственные службы и частные специалисты.

С другой стороны, это один из самых сложных способов, требующий специальных навыков и знаний. Кроме того необходимо наличие сведений о ключевых топографических точках.

Самым простым способом признаётся метод наложения расстояния. По сути, зная масштаб, вычислить координаты может даже школьник при помощи обычной линейки. Однако погрешность в таком случае может быть равна десяткам километров.

Метод сопоставления карт применяется крайне редко. К примеру, такой способ может быть использован при корректировке генерального плана расширения населённых пунктов, определения границ регионов и государств.

Но данные методы позволяют не только решить частные проблемы, но и узнать координаты искомого объекта недвижимости. Такое стало возможным после предоставления открытого доступа к картам GPS. Постоянное спутниковое наблюдение за поверхностью земли позволило с точностью до метра определить местоположение практически любого объекта, не оснащенного радиопоглощающим покрытием.

Выяснить местоположение путем сопоставления данных с GPS и топографической карты может практически любой человек. Для этого необходимо:

  • получить данные географических координат из системы GPS, выраженные в широте и долготе;
  • по ним вычислить зону Гаусса (срединный меридиан в зоне);
  • переложить точку соответственно зоне Гаусса.

Разумеется, задача не простая, но зато выполнимая. Другой вопрос – официальный статус такого вычисления.

Официальный статус определённых прямоугольных координат объектов недвижимости

Выявленные частным образом координаты никогда не будут иметь официального статуса. Ведь в целях топографии законодательством установлены специальные ГОСТы определения местоположения объектов недвижимости. Но при желании одним из вышеуказанных способов можно проверить соответствие официальных данных по тому или иному объекту недвижимости.

Очень редко, но всё же встречаются случаи, когда официальные данные в службе геодезистов не совсем точны. Никакого практического значения в повседневной жизни данный фактор может и не иметь. Однако он важен при определении так называемых «красных линий» на топографических картах. Это линии, по которым будут пролегать дороги и инженерные линии, и которые будут в будущем реквизированы.

Если по топографической карте данные объекта недвижимости указаны неверно, то его владелец может оказаться жертвой ошибочной реквизиции. Чтобы такого не случилось, при выявлении несоответствий фактических и официальных топографических координат необходимо сообщить об этом в уполномоченный орган (кадастр).

Если в удовлетворении ходатайства о проведении проверки и внесении изменений служба откажет, то можно добиться своего через суд. В таком случае будет назначена отдельная экспертиза с привлечением сторонних специалистов. В целом, процедура расходная и отнимает много времени, но рано или поздно владелец недвижимости может с таким столкнуться.

Источник: https://ZhiloePravo.com/kadastr/mezhevanie/opredelenie-koordinat-na-kartah.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.