Объясните как определяются координаты точки

Координаты на плоскости и в пространстве

Объясните как определяются координаты точки

Перед тем как приступить к решению задач, ответьте на вопросы:

1. Объясните, как определяются координаты точки в пространстве.

2. Выразите расстояние между двумя точками через их координаты (считать, что точки заданы на плоскости, используйте теорему Пифагора).

3. Выведите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов.

4. Что называется проекцией точки на оси координат, на координатные плоскости?

Основные формулы:

1. A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)

– расстояние между точками А и В (в пространстве).

2. Пусть С – середина отрезка АВ.

– координаты середины отрезка.

Формулы координат середины отрезка применяются для вычисления длин медиан треугольника.

Примеры решения типовых задач:

1. Даны точки: А(1,2,3), В(0,1,2), С(0,0,3), Д(1,2,0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости xy; 2) на оси z; 3) в плоскости yz ?

Решение: У точек плоскости xy координата z равна нулю. Поэтому только точка Д лежит в плоскости xy. У точек плоскости yz координата x равна нулю. Следовательно, точки В и С лежат в плоскости yz. У точек на оси z две координаты x,y равны нулю. Поэтому только точка С лежит на оси z.

2. Докажите, что четырёхугольник АВСД с вершинами в точках А(1;3;2),

В(0;2;4), С(1;1;4), Д(2;2;2) является параллелограммом.

Решение:

1 способ: докажем, что противоположные стороны равны.

АВ=СД, ВС=АД.

Найдём длины сторон параллелограмма с помощью формулы

расстояния между точками.

Доказали равенство противоположных сторон, следовательно данный

четырёхугольник – параллелограмм.

2 способ:докажем, что диагонали АС и ВД точкой пересечения делятся

пополам. Воспользуемся формулами середины отрезка и найдём

координаты середины отрезков (диагоналей) АС и ВД.

1) Координаты середины АС:

2) Координаты середины ВД:

Координаты середин отрезков одинаковы, значит отрезки

пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,

АВСД – параллелограмм.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найдите расстояние от точки (1;2;-3) до координатных плоскостей, осей координат, начала координат (используйте понятие проекции)?

2. Докажите, что четырёхугольник АВСД – параллелограмм, если: А(0;2;-3), В(-1;1;1), С(2;-2;-1), Д(3;-1;-5).

3. Найдите координаты вершина Д параллелограмма, если известны координаты трёх его вершин: А(2;3;2), В(0;2;4), С(4;1;0).

Указания: Найдите координаты середины отрезка (диагонали) АС. Запишите формулы координат середины отрезка ВД, они будут известны, выразите из формул координаты точки Д.

Ответ: Д(6;2;-2).

4. На оси абсцисс, найдите точку С(x;0;0), равноудалённую от точек

А(1;2;3) и В(-2;1;3).

Указания: По формуле расстояния между точками, найдите АС и ВС и

Приравняйте их. Возведением в квадрат обеих частей, избавьтесь от

корней и решите уравнение относительно переменной x.

Ответ: С(0;0;0).

Дополнительные задачи:

1. Укажите уравнение, которое задаёт геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от двух точек: А(1;3) и В(3;1).

1) x+y+10=0; 2) x+y-4=0; 3)x-y=0; 4)y=2; 5)x+y=0.

2. Укажите уравнение, которое задаёт геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от двух точек: А(3;-2), В(5;6).

1)2x+y+37=0; 2)4x-y-14=0; 3)3x+y-14=0; 4)x+4y-12=0; 5)x+3y-10=0.

Указания к решению задач:

ГМТ – геометрическое место точек – множество точек, обладающих определённым свойством. Пусть т.М(x,y) – произвольная точка данного ГМТ, значит АМ=ВМ. Преобразование полученного равенства и есть ответ на вопрос задачи.

Графическая работа: «Построение точек в системе координат OXYZ».

В системе координат OXYZ постройте точки с координатами:

А(1,2,0); В(-2,0,3); С(0,0,6); Д(2,3,-4); К(6,-3,2);Х(0,-3.-4);

Н(3,-4,-2); Р(-1,-6,-5).

Рекомендации:используйте лист в клетку в горизонтальном положении или масштабно-координатную бумагу (миллиметровка).

Задачи из учебника: Л.С.Атанасян и др., Геометрия 10-11, «Посвещение», Москва ,2010: №400, 401,402,424,425,429,430,431,435.

Перед решением задач рекомендуется ознакомиться с текстом учебника: глава 5, &1, п.42,45.

Источник: https://megaobuchalka.ru/8/17799.html

Прямоугольная система координат в пространстве

Объясните как определяются координаты точки

Вы уже знакомы с прямоугольной системой координат на плоскости, другими словами прямоугольной координатной плоскостью. Такую систему координат задают две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и величина единичного отрезка. Эти прямые называют осями абсцисс и ординат.

Точку пересечения осей называют точкой начала координат.

Прямоугольную систему координат на плоскости обозначают Оху.

Каждой точке плоскости сопоставляется только одна пара чисел, которые называют её координатами. Для определения координат, из точки нужно провести перпендикуляры к осям, тем самым мы и получим абсциссу и ординату точки.

Определение:

Если же через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, а на каждой из них выбрано направление и единичный отрезок, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Прямые с выбранными на них направлениями называют осями координат, а точку их пересечения — началом координат. Как и на плоскости её обычно обозначают буквой О.

Оси координат обозначают так: Ох, Оу, Оz. И называют осью абсцисс, осью ординат и, новым является название третьей оси, ось аппликат.

Прямоугольную систему координат в пространстве обозначают Охуz.

Через каждые 2 оси координат проходят координатные плоскости: Оху, Оуz и Охz. Всего таких плоскостей 3.

Каждая ось делится точкой О на два луча. В соответствии с этим, лучи, направление которых совпадает с направлением оси, называют положительными полуосями, а оставшиеся лучи — отрицательными полуосями.

Каждой точке пространства сопоставляется только одна тройка чисел, которые называют её координатами. Их определяют аналогично тому, как это делали на плоскости. Только через точку М проводят плоскости перпендикулярные координатным осям.

Точки пересечения проведённых плоскостей с осями координат назовём М1, М2 и М3.

Первая координата точки М, то есть её абсцисса, равна длине отрезка ОМ1.

Вторая координата, которую называют ординатой, равна длине отрезка ОМ2.

Ну, а третья координата, а точнее аппликата, равна длине отрезка ОМ3.

Координаты точки записывают в скобках, при этом первой записывают абсциссу, второй — ординату, а третьей — аппликату.

В данном случае точки М1, М2 и М3 являются точками положительных полуосей, поэтому и координаты точки М будут положительными числами.

Рассмотрим примеры различного расположения точек в прямоугольной системе координат.

Задание: определить координаты точек А, В, С, D, Е и F.

После выполнения этого задания можно сделать вывод о том, что если точка лежит в некоторой координатной плоскости или на некоторой координатной оси, то её соответствующие координаты будут равны нулю.

Так если точка лежит в координатной плоскости ОИксИгрек, то её аппликата равна нулю. Если точка лежит в координатной плоскости ОИксЗэт, то её ордината равна нулю. И если точка лежит в координатной плоскости ОИгрекЗэт, то её абсцисса равна нулю.

Ну, а в случаях, когда точка лежит на одной из осей, только одна координата является ненулевой.

Задание: По координатам точек

Источник: https://videouroki.net/video/1-priamoughol-naia-sistiema-koordinat-v-prostranstvie.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.