Ось координат определение

Содержание

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т

Ось координат определение

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, пря­мо­ли­ней­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат на плос­ко­сти или в про­стран­ст­ве, в ко­то­рой по­ло­же­ние точ­ки мо­жет быть оп­ре­де­ле­но как её про­ек­ции на фик­си­ро­ван­ные пря­мые, пе­ре­се­каю­щие­ся в од­ной точ­ке, на­зы­вае­мой на­ча­лом ко­ор­ди­нат. Эти про­ек­ции на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми точ­ки, а пря­мые – ося­ми ко­ор­ди­нат.

В об­щем слу­чае на плос­ко­сти Д. с. к. (аф­фин­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат) за­да­ёт­ся точ­кой $O$ (на­ча­лом ко­ор­ди­нат) и упо­ря­до­чен­ной па­рой при­ло­жен­ных к ней не ле­жа­щих на од­ной пря­мой век­то­ров $e_1$ и $e_2$ (ба­зис­ных век­то­ров).

Пря­мые, про­хо­дя­щие че­рез на­ча­ло ко­ор­ди­нат в на­прав­ле­нии ба­зис­ных век­то­ров, на­зы­ва­ют ося­ми ко­ор­ди­нат дан­ной Д. с. к. Пер­вая, оп­ре­де­ляе­мая век­то­ром $e_1$, на­зы­ва­ет­ся осью абс­цисс (или осью $Ox$), вто­рая – осью ор­ди­нат (или осью $Oy$). Са­ма Д. с. к. обо­зна­ча­ет­ся $Oe_1e_2$ или $Oxy$.

Де­кар­то­вы­ми ко­ор­ди­на­та­ми точ­ки $M$ (рис. 1) в Д. с. к. $Oe_1e_2$ на­зы­ва­ет­ся упо­ря­до­чен­ная па­ра чи­сел ($x$, $y$), ко­то­рые яв­ля­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми раз­ло­же­ния век­то­ра $\overrightarrow {OM}$ по ба­зи­су $\{e_1,e_2\}$, т. е. $x$ и $y$ та­ко­вы, что $\overrightarrow{OM}=xe_1+ye_2$.

Чис­ло $x$, $- \infty \lt x \lt \infty$, на­зы­ва­ет­ся абс­цис­сой, чис­ло $y$, $- \infty \lt y \lt \infty$, – ор­ди­на­той точ­ки $M$. Ес­ли ($x$, $y$) – ко­ор­ди­на­ты точ­ки $M$, то пи­шут $M$($x$, $y$).

Ес­ли на плос­ко­сти вве­де­ны две Д. с. к.

$Oe_1e_2$ и $O'e'_1e'_2$ так, что век­то­ры ба­зи­са $\{e'_1,e'_2\}$ вы­ра­же­ны че­рез век­то­ры ба­зи­са $\{e_1,e_2\}$ фор­му­ла­ми $$e'_1=a_{11}e_1+a_{12}e_2,\quad e'_2=a_{21}e_1+a_{22}e_2$$ и точ­ка $O'$ име­ет в Д. с. к.

 $Oe_1e_2$ ко­ор­дина­ты $(x_0,y_0)$, то ко­ор­ди­на­ты $(x,y)$ точ­ки $M$ в Д. с. к. $Oe_1e_2$ и ко­ор­ди­на­ты $(x',y')$ той же точ­ки в Д. с. к. $O'e'_1e'_2$ свя­за­ны со­от­но­ше­ния­ми $$x=a_{11}x'+a_{21}y'+x_0,\quad y=a_{12}x'+a_{22}y'+y_0.$$

Д. с. к. на­зы­ва­ют пря­мо­уголь­ной, ес­ли ба­зис $\{e_1,e_2\}$ ор­то­нор­ми­ро­ван­ный, т. е. век­то­ры $e_1$ и $e_2$ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и име­ют дли­ны, рав­ные еди­ни­це (век­то­ры $e_1$ и $e_2$ на­зы­ва­ют в этом слу­чае ор­та­ми). В пря­мо­уголь­ной Д. с.

к. ко­ор­ди­на­ты $x$ и $y$ точ­ки $M$ суть ве­ли­чи­ны ор­то­го­наль­ных про­ек­ций точ­ки $M$ на оси $Ox$ и $Oy$ со­от­вет­ст­вен­но. В пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $Oxy$ рас­стоя­ние ме­ж­ду точ­ка­ми $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$ рав­но $\sqrt {(x_2-x_1)2+(y_2-y_1)2}.$.

Фор­му­лы пе­ре­хо­да от од­ной пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $Oxy$ к дру­гой пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $O'x'y'$, на­ча­ло ко­то­рой $O'$ Д. с. к.

$Oxy$ есть $O'(x_0,y_0)$, име­ют вид $$x=x'\cos \alpha-y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha+y'\cos \alpha+y_0$$ или $$x=x'\cos \alpha+y'\sin \alpha+x_0,\quad y=x'\sin \alpha-y'\cos \alpha+y_0.$$

В пер­вом слу­чае сис­те­ма $O'x'y'$об­ра­зу­ет­ся по­во­ро­том ба­зис­ных век­то­ров $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$ и по­сле­дую­щим пе­ре­но­сом на­ча­ла ко­ор­ди­нат $O$ в точ­ку $O'$ (рис.

 2), а во вто­ром слу­чае – по­во­ро­том ба­зис­ных век­то­ров $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$, по­сле­дую­щим от­ра­же­ни­ем оси, со­дер­жа­щей век­тор $e_2$ от­но­си­тель­но пря­мой, не­су­щей век­тор $e_1$, и пе­ре­но­сом на­ча­ла ко­ор­ди­нат $O$ в точ­ку $O'$ (рис. 3).

Ино­гда ис­поль­зу­ют­ся ко­со­уголь­ные Д. с. к., от­ли­чаю­щие­ся от пря­мо­уголь­ной тем, что угол ме­ж­ду еди­нич­ны­ми ба­зис­ны­ми век­то­ра­ми не яв­ля­ет­ся пря­мым.

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся об­щая Д. с. к. (аф­фин­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат) в про­стран­ст­ве: за­да­ёт­ся точ­ка $O$ – на­ча­ло ко­ор­ди­нат и упо­ря­до­чен­ная трой­ка при­ло­жен­ных к ней не ле­жа­щих в од­ной плос­ко­сти век­то­ров $e_1$, $e_2$, $e_3$ (ба­зис­ных век­то­ров).

Как и в слу­чае плос­ко­сти, оп­ре­де­ля­ют­ся оси ко­ор­ди­нат – ось абс­цисс (ось $Ox$), ось ор­ди­нат (ось $Oy$) и ось ап­пли­кат (ось $Oz$) (рис. 4). Д. с. к. в про­стран­ст­ве обо­зна­ча­ет­ся $Oe_1e_2e_3$ (или $Oxyz$).

Плос­ко­сти, про­хо­дя­щие че­рез па­ры осей ко­ор­ди­нат, на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­нат­ны­ми плос­ко­стя­ми. Д. с. к.

в про­стран­ст­ве на­зы­ва­ет­ся пра­вой, ес­ли по­во­рот от оси $Ox$ к оси $Oy$ со­вер­ша­ет­ся в на­прав­ле­нии, про­ти­во­по­лож­ном дви­же­нию ча­со­вой стрел­ки, ес­ли смот­реть на плос­кость $Oxy$ из к.-н. точ­ки по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси $Oz$, в про­ти­во­по­лож­ном слу­чае Д. с. к. на­зы­ва­ет­ся ле­вой.

Ес­ли ба­зис­ные век­то­ры $e_1$, $e_2$, $e_3$ име­ют дли­ны, рав­ные еди­ни­це, и по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то Д. с. к. на­зы­ва­ет­ся пря­мо­уголь­ной. По­ло­же­ние од­ной пря­мо­уголь­ной Д. с. к. в про­стран­ст­ве от­но­ситель­но дру­гой пря­мо­уголь­ной Д. с. к. с той же ори­ен­та­ци­ей оп­ре­де­ля­ет­ся тре­мя эй­ле­ро­вы­ми уг­ла­ми.

Д. с. к. на­зва­на по име­ни Р. Де­кар­та, хо­тя в его соч. «Гео­мет­рия» (1637) рас­смат­ри­ва­лась ко­со­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой ко­ор­ди­на­ты то­чек мог­ли быть толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми. В из­да­нии 1659–61 к «Гео­мет­рии» при­ло­же­на ра­бо­та голл.

ма­те­ма­ти­ка И. Гуд­де, в ко­то­рой впер­вые до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния ко­ор­ди­нат. Про­стран­ст­вен­ную Д. с. к. ввёл франц. ма­те­ма­тик Ф. Ла­ир (1679). В нач. 18 в.

ус­та­но­ви­лись обо­зна­че­ния $x$, $y$, $z$ для де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат.

Источник: https://bigenc.ru/mathematics/text/1945043

Ось абсцисс и ординат. Прямоугольная система координат

Ось координат определение

Французский математик Рене Декарт преддложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

А вот и координаты увлекательных уроков математики: на интерактивной платформе и в комфортном темпе! Запишите ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школу Skysmart, чтобы закрыть пробелы по школьной программе и не бояться контрольных.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

  • Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Правила координат:

  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидово пространство состоит из трех взаимно перпендикулярных прямых: Ох, Оу, Оz, где Оz — ось аппликат. По направлению координатных осей есть разделение на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке О, которую называют началом. У каждой оси есть положительное направление, которое отмечается стрелкой.

Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой.

Объясняем на пальцах! Если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.

Также образуется левая система координат. Совмещать обе системы нет смысла, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу.

Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.

Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на ОуyM. Как это выглядит на координатных осях:

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.

Координаты точки в трехмерном пространстве

Сформулируем определение точки М в трехмерном пространстве.

Пусть Mx, My, Mz — это проекции точки М на соответствующие оси Оx, Оy, Оz. Тогда значения этих точек на осях примут значения xM, yM, zM. Как это выглядит на координатных прямых:

Чтобы получить проекции точки М, нужно добавить перпендикулярные прямые Оx, Оy, Оz, продолжить их и изобразить в виде плоскостей, которые проходят через М. Так плоскости пересекутся в Mx, My, Mz.

У каждой точки трехмерного пространства есть свои данные (xM, yM, zM), которые являются координатами точки М.

xM, yM, zM — это числа, которые являются абсциссой, ординатой и аппликатой данной точки М.

Верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку М трехмерного пространства.

Ну все, вроде бы справились. А если не совсем — приходите разбираться с системой координат на веселых задачках в Skysmart. Будет увлекательно и интерактивно!

Источник: https://skysmart.ru/articles/mathematic/Os-abstsiss-i-ordinat

Системы координат

Ось координат определение

  1. Декартова система координат.

    Начать изучение

  2. Деление отрезка в заданном отношении.

    Начать изучение

  3. Декартова прямоугольная система координат.

    Начать изучение

  4. Полярная система координат.

    Начать изучение

  5. Цилиндрические и сферические координаты.

    Начать изучение

Фиксируем в пространстве точку \(O\) и рассмотрим произвольную точку \(M\). Радиус-вектором точки \(M\) по отношению к точке \(O\) называется вектор \(\overrightarrow{OM}\). Если в пространстве кроме точки \(O\) выбран некоторый базис, то точке \(M\) сопоставляется упорядоченная тройка чисел — компоненты ее радиус-вектора.

Определение.

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

Точка носит название начала координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат; первая — осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья — осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.

Определение.

Пусть дана декартова система координат \(O\), \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\).

Компоненты \(x\), \(y\), \(z\) радиус-вектора \(\overrightarrow{OM}\) точки \(M\) называются координатами точки \(M\) в данной системе координат:$$\overrightarrow{OM} = x\boldsymbol{e_{1}} + y\boldsymbol{e_{2}} + z\boldsymbol{e_{3}}.

onumber$$

Первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой.

Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой линии. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты, а на прямой линии — одну.

Координаты точки пишут в скобках после буквы, обозначающей точку. Например, запись \(A(2,\ 1/2)\) означает, что точка \(A\) имеет координаты 2 и 1/2 в ранее выбранной декартовой системе координат на плоскости (рис. 2.1).

Рис. 2.

1

Координаты точки, как и компоненты вектора, — величины безразмерные. В частности, они не зависят от выбранной единицы измерения длин.

В самом деле, раскладывая векторы в теореме о линейной зависимости систем векторов, мы сводили дело к разложению вектора по коллинеарному с ним ненулевому вектору. А в этом случае компонента равна отношению длин, взятому с определенным знаком.

Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. С другой стороны, если задана система координат, то для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Система координат на плоскости определяет такое же соответствие между точками плоскости и парами чисел. Задание системы координат на прямой линии сопоставляет каждой точке вещественное число и каждому числу — точку.

Рис. 2.

2

Рассмотрим две точки \(A\) и \(B\), координаты которых относительно некоторой декартовой системы координат \(O\), \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\) соответственно \(x_{1}\), \(y_{1}\), \(z_{1}\) и \(x_{2}\), \(y_{2}\), \(z_{2}\). Поставим себе задачу найти компоненты вектора \(\overrightarrow{AB}\). Очевидно, что \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\) (рис. 2.2). Компоненты радиус-векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) равны (\(x_{1}\), \(y_{1}\), \(z_{1}\)) и (\(x_{2}\), \(y_{2}\), \(z_{2}\)) по определению координат. Из ранее доказанного предположения следует, что \(\overrightarrow{AB}\) имеет компоненты (\(x_{2}-x_{1}\), \(y_{2}-y_{1}\), \(z_{2}-z_{1}\)). Этим доказано следующее утверждение.

Утверждение 1.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Деление отрезка в заданном отношении

Найдем координаты точки \(M\) на отрезке \(AB\), которая делит этот отрезок в отношении \(\lambda/\mu\), то есть удовлетворяет условию$$\frac{|AM|}{|MB|} = \frac{\lambda}{\mu},\ \lambda > 0,\ \mu > 0onumber$$(рис. 2.3). Это условие можно переписать в виде$$\mu\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{MB}.\label{ref1}

$$

Рис. 2.

3

Обозначив через (\(x_{1}\), \(y_{1}\), \(z_{1}\)) и (\(x_{2}\), \(y_{2}\), \(z_{2}\)) соответственно координаты точек \(A\) и \(B\), а через (\(x\), \(y\), \(z\)) координаты точки \(M\), разложим обе части равенства по базису, причем компоненты векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MB}\) найдем по предложению 1. Тогда$$\mu(x-x_{1}) = \lambda(x_{2}-x),\ \mu(y-y_{1}) = \lambda(y_{2}-y),\ \mu(z-z_{1}) = \lambda(z_{2}-z).

onumber$$Из этих равенств можно найти \(x\), \(y\) и \(z\), поскольку \(\lambda + \mu eq 0\):$$x = \frac{\mu x_{1} + \lambda x_{2}}{\lambda + \mu},\ y = \frac{\mu y_{1} + \lambda y_{2}}{\lambda + \mu},\ z = \frac{\mu z_{1} + \lambda z_{2}}{\lambda + \mu}\label{ref2}$$

Если в формулах \eqref{ref2} мы будем считать одно из чисел \(\lambda\) или \(\mu\) отрицательным, то из равенства \eqref{ref1} увидим, что \(M\) находится на той же прямой вне отрезка \(AB\), деля его в отношении |\(\lambda/\mu\)|. Поэтому из формул \eqref{ref2} можно найти координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении как внутренним, так и внешним образом.

На плоскости и на прямой линии задача о делении отрезка решается точно так же, только из трех равенств в \eqref{ref2} остается соответственно два и одно равенство.

Декартова прямоугольная система координат

Общие декартовы системы координат используются реже, чем специальный класс таких систем — декартовы прямоугольные системы координат.

Определение.

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат.

Нетрудно проверить, что координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат в пространстве по абсолютной величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей. Они имеют знак плюс или минус в зависимости от того, лежит точка по ту же или по другую сторону от плоскости, что и конец базисного вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Аналогично находят координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.

Полярная система координат

Декартовы системы координат не единственный способ определять при помощи чисел положение точки на плоскости. Для этого используются многие другие типы координатных систем. Здесь мы опишем некоторые из них.

На плоскости часто употребляется полярная система координат. Она определена, если задана точка \(O\), называемая полюсом, и исходящий из полюса луч \(l\), который называется полярной осью.

Положение точки \(M\) фиксируется двумя числами: радиусом \(r = \overrightarrow{OM}\) и углом \(\varphi\) между полярной осью и вектором \(\overrightarrow{OM}\).

Этот угол называется полярным углом (рис. 2.4).

Рис. 2.

4

Мы будем измерять полярный угол в радианах и отсчитывать от полярной оси против часовой стрелки. У полюса \(r = 0\), а \(\varphi\) не определено. У остальных точек \(r > 0\), а \(\varphi\) определяется с точностью до слагаемого, кратного 2\(\pi\).

Это означает, что пары чисел \((r,\ \varphi)\), \((r,\ \varphi + 2\pi)\) и вообще (\(r\), \(\varphi + 2k\pi\)), где \(k\) — любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки.

Иногда ограничивают изменение полярного угла какими-нибудь условиями, например, \(0 \leq \varphi < 3\pi\) или \(-\pi < \varphi \leq \pi\). Это устраняет неоднозначность, но зато вводит другие неудобства.

Пусть задана полярная система координат и упорядоченная пара чисел \((r,\ \varphi)\), из которых первое неотрицательно. Мы можем сопоставить этой паре точку, для которой эти числа являются полярными координатами. Именно, если \(r = 0\), мы сопоставляем полюс.

Если же \(r > 0\), то паре \((r,\ \varphi)\) ставим в соответствие точку, радиус-вектор которой имеет длину \(r\) и составляет с полярной осью угол \(\varphi\).

При этом парам чисел \((r,\ \varphi)\) и \((r_{1},\ \varphi_{1})\) сопоставляется одна и та же точка, если \(r = r_{1}\), а \(\varphi = \varphi_{1} = 2\pi k\), где \(k\) — целое число.

Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, поместив ее начало в полюс \(O\) и приняв за базис векторы \(\boldsymbol{e_{1}}\) и \(\boldsymbol{e_{2}}\) длины \(l\), направленные соответственно вдоль полярной оси и под углом \(\pi/2\) к ней (угол отсчитывается против часовой стрелки). Как легко видеть из рис. 2.4, декартовы координаты точки выражаются через ее полярные координаты формулами$$x = r \cos \varphi,\ y = r \sin \varphi.\label{ref3}

$$

Цилиндрические и сферические координаты

В пространстве обобщением полярных систем координат являются цилиндрические и сферические системы координат.

И для тех, и для других фигура, относительно которой определяется положение точки, состоит из точки \(O\), луча \(l\), исходящего из \(O\), и вектора \(\boldsymbol{n}\), равного по длине 1 и перпендикулярного к \(l\).

Через точку \(O\) проведем плоскость \(\Theta\), перпендикулярную вектору \(\boldsymbol{n}\). Луч \(l\) лежит в этой плоскости.

Пусть дана точка \(M\). Опустим из нее перпендикуляр \(MM’\) на плоскость \(\Theta\).

Цилиндрические координаты точки \(M\) — это три числа \(r\), \(\varphi\), \(h\). Числа \(r\) и \(\varphi\) — полярные координаты точки \(M’\) по отношению к полюсу \(O\) и полярной оси \(l\), a \(h\) — компонента вектора \(\overrightarrow{M’M}\) по вектору \(\boldsymbol{n}\). Она определена, так как эти векторы коллинеарны (рис. 2.5).

Рис. 2.

5

Сферические координаты точки — три числа (\(r\), \(\varphi\), \(\theta\)). Они определяются так: \(r = |\overrightarrow{OM}|\). Как и для цилиндрических координат, \(\varphi\) — угол вектора \(\overrightarrow{OM_{1}}\) с лучом \(l\), а \(\theta\) — угол вектора \(\overrightarrow{OM}\) с плоскостью \(\Theta\) (рис. 2.6).

Рис. 2.

6

Источник: https://univerlib.com/analytic_geometry/vector_algebra/coordinate_systems/

Декарт и его координаты

Ось координат определение

Привет всем, кто неравнодушен к математике! Спасибо, что читаете мои статьи! Когда я только начинал писать, то даже не ожидал, что тема математики столь интересна для широкой аудитории. Количество подписчиков и просмотров с каждым днём растёт, что меня очень радует и вдохновляет на написание всё новых и новых интересных статей. Спасибо, что Вы со мной!

Вы когда-нибудь задумывались о том, как возникла современная система координат? Например, те же широта и долгота в наших GPS или Глонасс навигаторах – это не что иное, как координаты. Как, когда и у кого вообще появилась идея создать координаты? Это очень интересный вопрос. Для ответа на него предлагаю окунуться в историю.

Координатная сеть Земли

История возникновения системы координат уходит в далёкое прошлое. Первоначально идея этого метода возникла ещё в древнем мире. Уже тогда в координатах возникла потребность при изучении звёздного неба и особенно при составлении карт.

Историки считают составителем первой географической карты Анаксимандра Милетского, жившего в VII-VI веках до н. э. Именно он впервые чётко описал широту и долготу места, используя при этом прямоугольные проекции. После него во II веке до н. э.

греческий учёный Гиппарх предложил на всю поверхность Земли наложить параллели и меридианы и обозначить их числами.

Как видим, идея создания и применения координат возникла очень давно и связана была с географией и астрономией: с необходимостью определять местоположение светил на небе а также объектов на Земле.

Но основная заслуга в создании современного метода координат принадлежит великому французскому математику, философу и естествоиспытателю Рене Декарту. Он родился в 1596 году и прожил не так уж много – всего 54 года. Но за свою жизнь он внёс огромный вклад в развитие философии и естественных наук.

Очень интересна история, подтолкнувшая Декарта к созданию системы координат. Сейчас, занимая свои места в кинозале перед просмотром фильма или в театре перед спектаклем, мы даже не задумываемся о том, кто и когда придумал такую простую и удобную систему нумерации кресел по рядам и местам.

Оказывается, эта идея осенила Декарта при посещении парижских театров. В то время была постоянная путаница и конфликты между зрителями по поводу того, какие места кому занимать. Порой это даже приводило к дуэлям. И всё из-за отсутствия элементарной нумерации мест.

Простая система, предложенная математиком, в которой каждое кресло получало свою координату: ряд, место – произвела настоящий фурор в высшем обществе Парижа.

Система нумерации зрительских мест в театре

Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своём знаменитом труде “Рассуждение о методе” в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат и называют декартовой системой.

Кроме того, в том же 1637 году вышел в свет его не менее известный труд “Геометрия”, который открыл взаимосвязь алгебры и геометрии, их взаимопроникновение. В нём математик впервые ввёл понятия переменной величины и функции. Эти труды оказали огромнейшее влияние на последующее развитие математики.

Также в декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа.

Немалую заслугу в развитии координатной системы также внёс великий Пьер Ферма, соотечественник Декарта. Правда, его труды впервые были опубликованы уже после смерти учёного. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. А уже в следующем XVIII веке эту систему применил в трёхмерном пространстве Леонард Эйлер. Его я уже не раз упоминал в предыдущих статьях.

Вспомним из школьного курса, как строится координатная плоскость по системе Декарта. Чертятся две взаимно перпендикулярные прямые – одна по горизонтали, другая – по вертикали. Эти прямые называются осями координат. Горизонтальная получила название ось абсцисс, а вертикальная – ординат.

При записывании координаты любой точки на плоскости сначала пишется её абсцисса, затем ордината. Место пересечения осей называется началом координат. На каждой оси отмечается единичный отрезок. Иногда этот отрезок строится только на оси абсцисс – в этом случае подразумевается, что на оси ординат он имеет такую же длину.

Благодаря тому, что оси пересекаются, каждая из них имеет два направления: положительное и отрицательное. В классическом представлении положительные направления – вправо и вверх. Для каждой точки координатной плоскости могут быть найдены её координаты.

Для этого строят линии, проходящие через эту точку, которые перпендикулярны осям координат. Точки пересечения этих линий с осями есть проекции. Расстояние от начала координат до проекций и есть координаты точки.

В зависимости от положения точки относительно начала координат, её абсцисса и ордината могут быть положительными или отрицательными. Так всё просто, но какие возможности при этом открываются для графического отображения огромного количества фигур, функций, векторов и т. д.!

Декартова система координат

Как уже говорилось ранее, Леонард Эйлер ввёл третью координатную ось, для того, чтобы можно было говорить не только о плоскости, но и о пространстве. Эта ось получила название аппликат. А третья координата любой точки в трёхмерной системе называется соответственно аппликата.

Трёхмерная система координат

Благодаря Декарту, Ферма, Эйлеру мы получили простую и понятную систему для описания любого объекта на плоскости или в пространстве.

Теперь, имея понимание координат, можно будет говорить о функциях и их графиках. Эти темы обязательно встретятся в будущих статьях.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/math4u/dekart-i-ego-koordinaty-5ca791760e169100b4b2753b

Декартова система координат

Ось координат определение

Координаты на плоскости и в пространстве

Расстояние между точками

Координаты середины отрезка

Координаты точки деления отрезка в данном отношении

Уравнения прямой на плоскости

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пересечение двух прямых

Уравнение окружности

Уравнение сферы

Уравнения плоскости

Взаимное расположение двух плоскостей

Координаты на плоскости и в пространстве

Ось — прямая линия с указанным на ней направлением.

Ось координат — ось, на которой заданы начало отсчёта (начало координат), единичный отрезок, и каждому действительному числу соответствует определённая единственная точка.

На плоскости

Декартова (прямоугольная) система координат — две взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox и ось ординат Oy) с общим началом отсчёта.

Каждой точке А координатной плоскости ставится в соответствие пара чисел (xA; yA) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат.

Ax(xA; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox;

Ay (0; yA)— проекция точки А на координатную ось Oу.

В пространстве

Декартова (прямоугольная) система координат — три взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox, ось ординат Oy и ось аппликат Oz) с общим началом отсчёта.

Каждой точке А координатного пространства ставится в соответствие тройка чисел (xA; yA; zA) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат.

Ax (xA; 0; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox;

Ay (0; yA; 0) — проекция точки А на координатную ось Oу;
Az (0; 0; zA) — проекция точки А на координатную ось Oz;
Axy (xA; yA; 0) — проекция точки А на плоскость Oxy;
Axz (xA; 0; zA) — проекция точки А на плоскость Oxz;
Ayz ( 0; yA; zA) — проекция точки А на плоскость Oyz.

Расстояние между точками

На плоскости
   
В пространстве
   
$$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )2}$$$$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )2+\left ( z_{A}-z_{B} \right )2}$$

Общее правило вычисления расстояния между точками (длины отрезка): 

Расстояние между точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.

Координаты середины отрезка

На плоскости
   
В пространстве
   

$$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$

$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}.$$

$$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$

$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2};$$

$$z_{C}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.$$

Общее правило вычисления координат середины отрезка: 

Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Координаты точки деления отрезка в данном отношении

На плоскости
   
В пространстве
   

$$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$

$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$

$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$

$$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$

$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$

$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$

$$z_{L}=\frac{m_{2}z_{A}+m_{1}z_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$

Уравнения прямой на плоскости

Общее уравнение прямойУравнение прямой с угловым коэффициентомУравнение прямой в отрезках
$$ax+by+c=0$$$$ae0,~be0$$$$y=kx+b$$$$k = tg~\alpha $$$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$$$ae0,~be0$$
Уравнение прямой, проходящей через две данные точкиУравнение прямой с данным нормальным вектором и проходящей через данную точкуУравнение прямой с данным направляющим вектором и проходящей через данную точку
$$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$$$$P(x-x_A)+Q(y-y_A)=0$$$$\overline{n}(P; Q)$$$$\frac{x-x_A}{p}=\frac{y-y_A}{q}$$$$\overline{m}(p;q)$$
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямойУравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямойУравнение прямой, проходящей через начало отсчёта
$$\frac{y-y_A}{x-x_A}=-\frac{1}{k}$$$$\frac{y-y_A}{x-x_A}=k$$$$ax+by=0$$$$ae0,~be0$$

Уравнение прямой,

параллельной оси Ох

Уравнение прямой,

параллельной оси Оу

$$by+c=0$$$$Ox:~y=0$$$$ax+c=0$$$$Oy:~x=0$$

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

$$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}e\frac{c_1}{c_2}$$$$a_1 a_2+b_1 b_2=0$$
$$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$
$$k_1=k_2;~(b_1e b_2)$$$$k_1 k_2=-1$$

Пересечение двух прямых

Уравнения прямых$$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$

$$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$

Условие пересечения прямых$$\frac{a_1}{a_2}e\frac{b_1}{b_2}$$$$k_1e k_2$$
Координаты точки пересечения прямых$$x_A=-\frac{c_1 b_2-c_2 b_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$$$y_A=-\frac{a_1 c_2-a_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$$$x_A=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}~~~~~~$$$$y_A=\frac{k_1 b_2-k_2 b_1}{k_1-k_2}$$
Угол между пересекающимися прямыми$$tg~\alpha =\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2}$$$$tg~\alpha =\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}$$

Уравнение окружности

С центром в начале координат О(0; 0)$$x2+y2=R2$$С центром в точке О(xO; yO)$$(x-x_O)2+(y-y_O)2=R2$$

Уравнение сферы

С центром в начале координат О(0; 0; 0)$$x2+y2+z2=R2$$С центром в точке О(xO; yO; zO) $$(x-x_O)2+(y-y_O)2+(z-z_O)2=R2$$

Уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости:$$\alpha :~~ax+by+cz+d=0$$где первые три коэффициента равны координатам вектора $$\overline{n}(a; b; c)$$перпендикулярного к плоскости α и удовлетворяют условию$$a2+b2+c2e0$$то есть, не равны нулю одновременно.

Уравнение плоскости, проходящей через точку L(xL; yL; zL) и перпендикулярной к вектору$$\overline{n}(a; b; c)$$$$\alpha :~~a(x-x_L)+b(y-y_L)+c(z-z_L)=0$$или$$\alpha :~~ax+by+cz=ax_L+by_L+cz_L.

$$

Уравнение плоскости в отрезках:$$\alpha :~~\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$$где a, b, c — отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях (имеются в виду соответствующие координаты концов отрезков, а не их длины). При этом должно выполняться$$ae0,~be0,~ce0.

$$

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат:$$\alpha :~~ax+by+cz=0$$
Уравнение плоскости, параллельной координатной оси:$$\alpha ||Ox:~~by+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oy:~~ax+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oz:~~ax+by+d=0.

$$

Уравнение плоскости, проходящей через координатную ось:$$Ox\subset\alpha :~~by+cz=0;$$$$Oy\subset\alpha :~~ax+cz=0;$$$$Oz\subset\alpha :~~ax+by=0.$$
Уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости и самих координатных плоскостей:$$\alpha ||Oxy:~~cz+d=0;~~~~~Oxy:~~z=0;$$$$\alpha ||Oxz:~~by+d=0;~~~~~Oxz:~~y=0;$$$$\alpha ||Oyz:~~ax+d=0;~~~~~Oyz:~~x=0.$$

Взаимное расположение двух плоскостей

$$\alpha_1 :~~a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$$$$\alpha_2 :~~a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$$

Условие параллельности плоскостей: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$При$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}$$плоскости совпадают.
Условие перпендикулярности плоскостей: $$a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0.$$
Угол между плоскостями (меньший из возможных):$$\cos \varphi =\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_12+b_12+c_12}\cdot \sqrt{a_22+b_22+c_22}}.$$

     

Обозначения и сокращения

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Таблицы значений тригонометрических функций

Предел и непрерывность функции

Производная

Первообразная и интегралы

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники

Тела вращения

Источник: http://math4school.ru/dekartova_sistema_koordinat

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.