Xyz координаты как найти точку

Метод координат в пространстве

Xyz координаты как найти точку

30 мая 2011

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

  1. формула — косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

  2. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.
  3. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения: A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;

A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую…

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведены прямые AC и BD1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD1. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD1 = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB1 и AC1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA1, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB1. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC1. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB1 = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение A1BC1. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A1, B и C1, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C1 = (1; 1; 1) получим уравнения: A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;

A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение AA1C1C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Координаты середины отрезка

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (xa; ya; za) и B = (xb; yb; zb). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A1B1. Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K — середина отрезка A1B1, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A1 = (0; 0; 1) и B1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A1B1C1D1.

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A1L = C1L, т.е. точка L — это середина отрезка A1C1. Но A1 = (0; 0; 1), C1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ: L = (0,5; 0,5; 1)

Источник: https://www.berdov.com/ege/solid_geometry/method/

Построение точки по координатам

Xyz координаты как найти точку

Плоскости проекций V, H, W принимаются за координатные плоскости, а оси проекций X, Y, Z за координатные оси как положительные, так и отрицательные (рис. 10).

Положение точки в пространстве задается тремя координатами – X, Y, Z. Проекции точки задаются двумя координатами: а(х, y), а′(х, z), а′′(y, z).

Зная направление для положительного и отрицательного значений координатных осей, принимая во внимание свойства проекций точки, можно построить проекции точки по координатам. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача. Построить проекции точки А(–10; 40; –30) (рис. 10).

Рис. 10. Построение проекций точки А по координатам

Для построения фронтальной проекции а′ точки А справа от точки О на оси Х откладываем значение Х = –10. Вниз от точки О по направлению оси Z откладываем значение Z = –30. Пересечением перпендикуляров из точек аX и аZ,восстановленных к соответствующим осям Х и Z, определяем точку а′.

Для построения горизонтальной проекции а точки А по направлению оси Y вниз от точки О откладываем значение y = – 40.

Через точку аY проводим перпендикуляр до пересечения с линией связи а′аX. Отмечаем точку а – горизонтальную проекцию точки А.

По расположению фронтальной и горизонтальной проекций точки А определяем, что точка А расположена в VΙΙΙ октанте.

Для построения профильной проекции а′′ точки А через ее фронтальную проекцию а′ проводим линию связи а′аZ и на ней, вправо от точки аZ, откладываем значение y = 40. Отмечаем точку а′′ – профильную проекцию точки А.

Задача. Построить проекции точек по координатам и указать октант, в котором находится каждая из них.

Исходные данные: А(10; –30; 40), В(70; 50; –10), С(20; 15; 0), D(60; 35; 40), Е(50; –10; –25).

Решение. Порядок выполнения графической части задачи (рис. 11):

1. Проводим оси координат Х, Y, Z. Указываем положительные и отрицательные их направления.

2. Построение точек выполняем в масштабе 1:1.

Точка А (10; –30; 40):

Фронтальную проекцию а′ точки А определяем по координатам Х, Z; по оси Х откладываем 10 мм, по оси Z – 40 мм.

Горизонтальную проекцию а точки А определяем по координатам Х,(–Y), расстояние 30 мм откладываем по оси (–Y), совпадающей с положительным направлением оси Z.

Профильную проекцию а′′ точки А определяем по координатам (–Y), Z. В этом случае расстояние 30 мм откладывается по оси (–Y), совпадающей с положительным направлением оси Х. Следовательно, точка А находится во ΙΙ октанте.

Точка В (70; 50; –10):

Строим фронтальную проекцию b′ (Х = 70; Y = –10) точки А. Расстояние 10 мм нужно отложить на отрицательном направлении оси Z.

Уточните: фронтальная b′ и горизонтальная b проекции точки В будут расположены на линии связи ниже оси Х. Профильная проекция b′′ точки В располагается справа от оси Z и ниже оси Х.

Анализируя знаки координат (+ + – ) и расположение проекций точки, делаем вывод – точка В находится в ΙV октанте.

Точка С (20; 15; 0):

При построении этой точки очевидно, что фронтальная проекция с′ точки С лежит на оси Х, а ее профильная проекция а′′ лежит на оси Y, совпадающей с отрицательным направлением оси Х. Удаление точки С от плоскости проекций Н равно нулю (y = 0), следовательно, точка С лежит в плоскости Н, на границе Ι и ΙV октантов.

Точка D (60; 35; 40):

Все значения координат положительные, следовательно, точка D находится в Ι октанте.

Точка Е (50; –10; –25):

При отрицательных значениях Y и Z точка располагается в ΙΙΙ октанте. Проекции такой точки располагаются:

– фронтальная проекция е′ точки Е располагается ниже оси Х, слева от оси Y;

– горизонтальная проекция е точки Е располагается выше оси Х, слева от оси Z;

– профильная проекция е′′ точки Е располагается слева от оси Z, ниже оси Х.

Вывод. Положение точки в пространстве вполне определено, если известны три ее координаты или две любые ортогональные проекции. Как следствие из этого – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки можно всегда построить недостающую ее третью ортогональную проекцию.

Рис. 11. Построение точек по координатам с указанием октантов

Рассмотри построение точки по двум заданным ортогональным проекциям.

Задача. По двум заданным ортогональным проекциям построить недостающую проекцию точки В (рис. 12).

Рис. 12. Графическое условие задачи

Решение. Анализируем графическое условие задачи: заданы фронтальная и профильная проекции точки В. Это значит, заданы все три координаты точки В. Следовательно, необходимо построить ее горизонтальную проекцию.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Для построения горизонтальной проекции точки В необходимо знать ХВ и УВ. Эти координаты находим на чертеже.

2. Замеряем УВ = bZ b′′ и откладываем эту координату вдоль линии связи от оси ОХ от точки bХ.

3. Строим горизонтальную проекцию точки В (рис. 13).

Рис. 13. Построение недостающей проекции точки В

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

При ортогональном проецировании на плоскости проекций прямая линия проецируется в виде прямой. Чтобы построить проекции этой прямой линии, проходящей через заданные точки А и В, нужно построить проекции этих точек и провести прямые линии через их одноименные проекции (рис. 14). Получим:

аb – горизонтальную проекцию отрезка прямой;

а′b′ – фронтальную проекцию отрезка прямой.

Рис. 14. Проекции отрезка прямой, проходящего через две точки

Следы прямой

Прямая пересекает плоскости проекций в точках, которые называются следами прямой.

Точка пересечения прямой N с горизонтальной плоскостью проекций Н (П1) называется горизонтальным следом NH.

Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций V (П2) – фронтальным следом NV.

Точка пересечения прямой N с профильной плоскостью проекций W (П3) – профильным следом NW прямой.

Вывод:

· горизонтальный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая в горизонтальной плоскости проекций H (П1);

· фронтальный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая во фронтальной плоскости проекций V (П2);

· профильный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая в профильной плоскости проекций W (П3).

Задача. Построить точки пересечения прямой N с горизонтальной Н (П1) и фронтальной V(П2) плоскостями проекций (рис. 15аб).

Анализируя задачу, приходим к выводу, что необходимо построить горизонтальный и фронтальный следы прямой.

Решение

1. Построение фронтального следа NV.

Необходимо построить точку, принадлежащую прямой N и фронтальной плоскости проекций. Согласно изложенному ранее материалу, горизонтальная проекция искомой точки должна:

– лежать на оси Х;

– принадлежать горизонтальной проекции прямой N.

Порядок выполнения графической части задачи:

1.1. Отмечаем точку пересечения горизонтальной проекции n прямой N с осью Х, получаем точку nV – горизонтальную проекцию фронтального следа.

1.2. Через точку nV проводим линию связи перпендикулярно оси Х.

1.3. Находим точку пересечения линии связи с фронтальной проекцией n′ прямой N, получаем точку NV – фронтальную проекцию фронтального следа. Через эту точку прямая уходит во вторую четверть (рис. 15а) и в третью четверть (рис. 15б).

2. Построение горизонтального следа NH.

Необходимо построить точку, принадлежащую прямой N и горизонтальной плоскости проекций Н. Согласно изложенному ранее материалу, фронтальная проекция искомой точки должна:

– лежать на оси Х;

– принадлежать фронтальной проекции прямой N.

Порядок выполнения графической части задачи:

2.1. Отмечаем точку пересечения фронтальной проекции n′ прямой N с осью Х, получаем точку nH – фронтальную проекцию горизонтального следа.

2.2. Через точку nH проводим линию связи перпендикулярно оси Х.

2.3. Находим точку пересечения линии связи с горизонтальной проекцией n прямой N, получаем фронтальную проекцию фронтального следа. В этой точке прямая пересекает горизонтальную плоскость и уходит в четвертую четверть (рис. 15а,б).

Рис. 15. Построение следов прямой линии N:

а – прямая уходит во вторую четверть; б – прямая уходит в третью четверть



Источник: https://infopedia.su/14x1255.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.